代码随想录算法训练营第四十六天丨 动态规划part09

198.打家劫舍

思路

如果刚接触这样的题目，会有点困惑，当前的状态我是偷还是不偷呢？

仔细一想，当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。

所以这里就更感觉到，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。

当然以上是大概思路，打家劫舍是dp解决的经典问题，接下来我们来动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

• 确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

• dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

代码如下：

        //确定dp数组及其下标含义 
        //表示第i个房间能够偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[1],nums[0]);

• 确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

代码如下：

        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
            dp[i]= Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }

• 举例推导dp数组

以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。

红框dp[nums.size() - 1]为结果。

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length==1){
            return nums[0];
        }
        //确定dp数组及其下标含义 
        //表示第i个房间能够偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[1],nums[0]);
        //确定遍历顺序
        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
            dp[i]= Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }
        return dp[nums.length-1];
    }
}

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

#总结

打家劫舍是DP解决的经典题目，这道题也是打家劫舍入门级题目，后面我们还会变种方式来打劫的。

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213.打家劫舍II

思路

这道题目和198.打家劫舍 (opens new window)是差不多的，唯一区别就是成环了。

对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：

• 情况一：考虑不包含首尾元素

• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍 (opens new window)就是一样的了。

代码如下：

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length==1){
            return nums[0];
        }
        if (nums.length==2){
            return Math.max(nums[0],nums[1]);
        }
        if (nums==null || nums.length==0){
            return 0;
        }
        return Math.max(robOne(nums,0,nums.length-1),robOne(nums,1,nums.length));
    }
    public int robOne(int[] nums,int start,int end){
        //确定dp数组及其下标含义
        //dp[i] 表示到第i个房屋能偷到的最大金额
        int[] dp = new int[nums.length];
        //确定递推公式 dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        //初始化dp数组
        dp[start] = nums[start];
        dp[start+1] = Math.max(nums[start],nums[start+1]);
        for (int i = start+2; i < end; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2] + nums[i]);
        }
        return dp[end-1];
    }
}

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

#总结

成环之后还是难了一些的， 不少题解没有把“考虑房间”和“偷房间”说清楚。

这就导致会有这样的困惑：情况三怎么就包含了情况一了呢？ 本文图中最后一间房不能偷啊，偷了一定不是最优结果。

所以我在本文重点强调了情况一二三是“考虑”的范围，而具体房间偷与不偷交给递推公式去抉择。

这样大家就不难理解情况二和情况三包含了情况一了。

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337.打家劫舍 III

思路

这道题目和 198.打家劫舍 (opens new window)，213.打家劫舍II (opens new window)也是如出一辙，只不过这个换成了树。

对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。

本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）

动态规划

在上面两种方法，其实对一个节点 偷与不偷得到的最大金钱都没有做记录，而是需要实时计算。

而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

• 确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点，代码如下：

vector<int> robTree(TreeNode* cur) {

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？

别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。

如果还不理解的话，就接着往下看，看到代码就理解了哈。

• 确定终止条件

在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

        if (curNode == null){
            return res;
        }

这也相当于dp数组的初始化

• 确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下：

        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right)

• 确定单层递归的逻辑

如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义）

如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下：

        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right);
 
        //当前层不偷
        res[0] = Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]);
        //当前层偷
        res[1] = curNode.val + left[0] + right[0];
        return res;

• 举例推导dp数组

以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。

递归三部曲与动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] tree = tree(root);
        return Math.max(tree[0],tree[1]);
    }
    public int[] tree(TreeNode curNode){
        // 下标0：不偷，下标1：偷
        int[] res = new int[2];
        if (curNode == null){
            return res;
        }
        int[] left = tree(curNode.left);
        int[] right = tree(curNode.right);
        //当前层不偷
        res[0] = Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]);
        //当前层偷
        res[1] = curNode.val + left[0] + right[0];
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，每个节点只遍历了一次
• 空间复杂度：O(log n)，算上递推系统栈的空间

#总结

这道题是树形DP的入门题目.

所以树形DP也没有那么神秘！

只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式，一下子换成了树，就需要对树的遍历方式足够了解！

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还是得看视频，没有一题AC出来