【线性代数】三、特征值和特征向量

一、基本概念和性质

特征向量和特征值
设A为n阶矩阵，$\lambda$是一个数，如果存在n维非零列向量，使得$$A\xi =\lambda \xi$$那么称$\lambda$为A的特征值，$\xi$为对应的特征向量

特征值性质

tips:迹是矩阵的主对角线的值之和
特征向量性质

1. k重特征值$\lambda$最多有k个线性无关的特征向量
2. 如果${\xi }_1,{\xi }_2$属于不同的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$的特征向量，那么他们线性无关，尽管他们可能在值上完全相等
3. 如果${\xi }_1,{\xi }_2$属于同一的特征值$\lambda$的特征向量，那么$k{\xi }_1+k{\xi }_2$仍然是特征值$\lambda$的特征向量
4. 如果${\xi }_1,{\xi }_2$属于不同的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$的特征向量，那么$k{\xi }_1+k{\xi }_2$不是A的特征向量

求解特征值和特征向量
特征方程法求解：用特征方程$|\lambda E-A|=0$求出特征值$\lambda$，再解齐次线性方程组$(\lambda E-A)x=0$得特征向量。

另外，题目在求解其他要素时（比如说矩阵的秩，或者行列式的值）有时候会喜欢给出|bE-aA|的条件，需要联想到特征值，然后使用特征值的性质求解

需要尤为注意的是$P^{-1}AP$的特征值和A保持一致，但是特征向量变为了$P^{-1}\xi$，这对求解相似矩阵的特征向量很有用。
另外，A^T的特征值和A一致，但是特征向量需要单独计算

矩阵方阵考察特征向量

二、矩阵的相似

1.定义
存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称A相似于B，记作A~B

2.相似矩阵的性质
如果A~B，则有：

• r(A)=r(B)
• |A|=|B|
• tr(A)=tr(B)
• 矩阵特征值相等
• 矩阵特征值相等$\to |\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

以上性质在选择题中常用于排除，也可用于求解带未知数的A～B的式子

特殊性质

• $A\sim B$可推导出 $A^m\sim B^m$并且$f(A)=f(B)$
• $A\sim B$并且A可逆，则可推导出$A^{-1}\sim B^{-1}$，$A^T\sim B^T$，$A^{\ast }\sim B^{\ast }$
• $A\sim B$可推导出$A^m\sim B^m$，$f(A)\sim f(B)$
• $A\sim \Lambda ,B\sim \Lambda \Rightarrow A\sim B$

由于矩阵的相似是由矩阵特征值相等推导而来的，所以相似矩阵之间的关系和特征值的运算规律有很大的关系

三、矩阵相似对角化

定义

可相似对角化的条件
设A为n阶矩阵

1. 充要条件

   • n阶矩阵A可相似对角化$\iff$A有n个线性无关的向量
   • n阶矩阵A可相似对角化$\iff n_i=n-r(\lambda E-A)$，n_i是第i个特征值的重根个数
   • n阶矩阵A可相似对角化$\iff$A对于每个ki重特征值都有ki个线性无关特征向量

2. 充分条件

   • n阶矩阵A为实对称矩阵$\Rightarrow A\sim \Lambda$
   • A有n个不同的特征值$\Rightarrow$矩阵A可相似对角化
   • $A^2=A\Rightarrow$矩阵A可相似对角化
   • $A^2=E\Rightarrow$矩阵A可相似对角化
   • $r(A)=1$并且$tr(A)\ne 0$

3. 必要条件

   • $A\sim \Lambda \Rightarrow$ r(A)=非零特征值个数

4. 否定条件

   • $A\ne O,A^k=O\Rightarrow$不可相似对角化
   • A的特征是全为k但是$A\ne kE\Rightarrow$A不可相似对角化

TIPS：可以通过给出$\Lambda$和P^-1来反求A

四、实对称矩阵和正交矩阵

实对称矩阵的性质
实对称矩阵上的矩阵元素对称，也就是a_ij=a_ji，A^T=A
如果A为实对称矩阵，则

• 特征值均为实数，特征向量均为实向量
• 不同特征值对应特征向量正交（非实对称：不同特征值对应特征向量线性无关）
• 可用正交矩阵相似对角化，也就是存在正交矩阵P使得$P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$

上述的最后一条最重要，这意味着实对称相似于对角阵可以用$P^{T}AP=\Lambda$求解

正交矩阵的性质
如果A为正交矩阵，则：
$A^{T}A=E\iff A^{-1}=A^T$
因此A^T、A^-1、A^*、-A是正交阵
若A，B为正交矩阵，则AB也是正交阵，而A+B不一定是

实对称矩阵也有相同性质：
如果A为实对称矩阵，则A^-1,A^T,A^*都是实对称
但是不同在于：若A，B均为实对称，则A+B也是实对称，而AB不一定是实对称

五、题型

1.抽象型特征值和特征向量

2.两矩阵相似的判别和证明

1.定义法
存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称A相似于B

2.用性质
$AB\iff r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B),{\lambda }_A={\lambda }_B$

3.求可逆矩阵P使得$PA{P}^{-1}=\Lambda$

施密特正交化

4.实对称矩阵相似对角化