算法设计与分析 SCAU11076 浮点数的分数表达（优先做）

11076 浮点数的分数表达（优先做）

时间限制:1000MS 代码长度限制:10KB
提交次数:0 通过次数:0

题型: 编程题 语言: G++;GCC;VC;JAVA

Description

在计算机中，用float或double来存储小数有时不能得到精确值，若要精确表达一个浮点数的计算结果，
最好用分数来表示小数，有限小数或无限循环小数都可以转化为分数，无限循环小数的循环节用括号标记出来。如：
0.9 = 9/10
0.(3) = 0.3(3) = 0.3(33) = 1/3

当然一个小数可以用好几种分数形式来表示，我们只感兴趣最简的分数形式(即分母最小)，如：
0.3(33) = 1/3 = 3/9

因为任何一个数都可以转化为一个整数和一个纯小数之和，整数部分较为简单无需做额外处理，只要将纯小数部分转
化为分数形式，整数部分的分数部分就很简单了。

现在给定一个正的纯小数（这个纯小数为有限小数或无限循环小数），请你以最简分数形式来返回这个纯小数。

输入格式

给定一个纯小数，若是无限循环小数，用括号标记循环节，输入小数表达不超过100个字符。

说明：这里如果觉得高精度数有难度，先考虑用64位整数来求解吧。测试数据没有太长，位数不超过64位整数表示范围。
即，你用64位整数做，可通过此题。

输出格式

输出：化为最简分数形式，分子在前，分母在后，中间空格连接。

输入样例

0.3(33)

输出样例

1 3

解题思路

考虑输入的是纯小数，先暂时不考虑分子和分母有公因子的情况。

1. 假设有限小数：X = 0.a1a2…an，式中的a1,a2,…,an都是0~9的数字。

    X = 0.a1a2…an = a1a2…an/10^n
1

2. 假设无限循环小数：X = 0.a1a2…an(b1b2…bm)，式中的a1,a2,…,an, b1,b2,…,bm都是0~9的数字，括号为循环节。

第一步，先将X化为只有循环部分的纯小数。

• X = 0.a1a2…an(b1b2…bm)
• (10^n)*X = a1a2…an + 0.(b1b2…bm)
• X = (a1a2…an + 0.(b1b2…bm)) / (10^n)

上式中，a1a2…an是整数部分，容易解决。重点考虑小数部分0.(b1b2…bm)如何化为分数形式，再加上整数部分即可。

第二步，考虑Y = 0.(b1b2…bm)，将Y化为分数，

• (10^m)*Y = b1b2…bm + 0.(b1b2…bm)
• ((10^m)-1)*Y = b1b2…bm
• Y = b1b2…bm / ((10^m)-1)

将第二步的Y带入第一步的X，可得：

X = (a1a2…an+Y)/(10^n) = ((a1a2…an)*((10^m)-1) + (b1b2…bm)) / (((10^m)-1)*(10n))

此时，可以将任何一个有限小数或无限循环小数，化为分数表示，分数的分子和分母如上分析的公式。

但此时的分子分母未必是最简化的，对分子分母再进行约分，删去公共的因子，A/B = (A/GCD(A,B))/(B/GCD(A,B))，【】化为简单形式。 这里，GCD(A,B)表示A和B的最大公约数。

题目给的例子0.3(33)按照如上公式分析看看是否是1/3。

这里设输入的数为X。
X = 0.3(33)
10X = 3.(33)
X = 3/10 + 0.(33)/10 //这一步目的化成只有循环节的小数，比如：0.(33)，而把原数循环节前面的数都变
//为有限小数的部分（因为有限小数更容易处理），现在需要重点考虑只有循环节部
//分的纯小数怎么转化为分数即可。

另：Y = 0.(33)
（10^2）Y = 33 + Y
（10^2 - 1）Y = 33
Y = 33/99 //将这个Y代入上式求解X的分数表达

则初始数据：X = 3/10 + (1/10)Y
X = 3/10 + (1/10)(33/99)
X = 330/990

将分子分母约去最大公约数得：X = 1/3

更多注释可查看代码中，有助于理解

代码如下

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main()
{
    string s1;
    cin >> s1;

    bool isInfinite = false, isfinite = true;

    long long infiniteNum = 0, finiteNum = 0;
    long long infiniteDigit = 1, finiteDigit = 1; // 记录有限和无限小数有多少位

    for(int i = 2; i < s1.length(); i++)
    {
        if(s1[i] == ')')
        {
            break;
        }

        else if(s1[i] == '(')
        {
            isInfinite = true; // 开始遍历无限循环
            isfinite = false;
        }

        // 遍历到有限循环小数部分
        else if(isfinite)
        {
            finiteNum = finiteNum * 10 + s1[i] - '0';
            finiteDigit *= 10;
        }

        // 遍历到无限循环小数部分
        else if(isInfinite)
        {
            infiniteNum = infiniteNum * 10 + s1[i] - '0';
            infiniteDigit *= 10;
        }
    }

    //cout << finiteNum << " " << finiteDigit << " " << infiniteNum << " " << infiniteDigit << endl;

    long long upper = 0, down = 0;

    // 没无限循环节
    if(infiniteNum == 0)
    {
        upper = finiteNum;
        down = finiteDigit;
    }
    else
    {
        upper = finiteNum * (infiniteDigit - 1) + infiniteNum;
        down = finiteDigit * (infiniteDigit - 1);
    }

    long long t = __gcd(upper, down);

    cout << upper/t << " " << down/t << endl;
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67

最后

对我感兴趣的小伙伴可查看以下链接

• 我的掘金主页：https://juejin.cn/user/1302297507801358
• 博客主页：http://blog.zhangjiancong.top/
• 公众号：Smooth前端成长记录