【4.2 集中趋势&离散趋势】（描述性统计分析）——CDA

目录

I.数据的描述性统计

1.1 总量指标、相对指标

1.2 集中趋势的描述——平均指标

1.2.1 众数

1.2.2 分位数

1.二分位数/中位数-​编辑 

2.四分位数

1.2.3 均值（mean）

1. 算术平均数

2. 几何平均数

3. 调和平均数——（用的比较少）

1.2.4 均值不等式

II. 离散程度的描述——变异指标

2.1 变异指标

         2.1.1 极差（range）

2.1.2 平均差（mean deviation）

2.1.3 方差和标准差

2.2 离散系数/变异系数

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I.数据的描述性统计

1.1 总量指标、相对指标

总量指标：反映在一定时间、空间条件下某种现象的总体规模、总水平或总成果的统计指标。

eg：营业额、利润等

相对指标：两个有相互联系的指标数值之比。

eg：目标完成率（实际完成/计划完成）、比值

1.2 集中趋势的描述——平均指标

集中趋势（central tendency）：一组数据向其中心值靠拢的趋势  （描述数据中心）

测度集中趋势——寻找数据水平的代表值或中心值

根据数据分类，看度量：

• 分类型数据——众数
• 顺序型数据——众数、分位数
• 数值型数据——众数、分位数、均值

不同类型的数据，一定要用不同的方法进行分析。

1.2.1 众数-Mo" role="presentation">Mo$M_o$

（1）定义：出现次数最多的变量值

（2）表示符号：

（3）计算：

寻找数据中出现次数最多的值；

众数的不唯一性，可能有也可能没有。

【Practice】

1.2.2 分位数

如果拿到顺序型数据，可用分位数来度量。 

定义：根据对数据位置进行划分，处于某些特定位置上的数。

分位数：二分位数、四分位数、十分位数、百分位数等

1.二分位数/中位数- 

（1）定义：数据排序后，处于中间位置上的值  （先排序再找值）

（2）表示符号：

（3）计算：

数据的个数为n，中位数的位置= 

【Practice】

 

2.四分位数

（1）定义：分下四分位数、上四分位数 2种。排序后处于25%和75%位置上的值。

（2）表示符号

下四分位数： QL" role="presentation"> QL$Q_L$   上四分位数：

（3）计算

数据的个数为n，则：

下四分位数的位置：

上四分位数：的位置：

 

 

1.2.3 均值（mean）

如果拿到的是数值型数据，就可计算均值。

• 算术平均数
• 几何平均数
• 调和平均数

1. 算术平均数

（1）定义：数据和与数据个数之比

（2）表示符号：

（3）计算

简单算术平均数（根据未分组数据计算）

加权算术平均数（根据分组数据计算）

 权重 ： f1/总数    按照概率来算；f1  / f1+f2+fn

（4）特点：易受极端值影响

示例：

2. 几何平均数

（1）定义：n个变量值乘积的n次方根

一般适用于算增长率、或者利率这些；

（2）表示符号：G

（3）计算

简单调和平均数（根据未分组数据计算）

加权调和平均数（根据分组数据计算）

 

（4）特点

• 易受极端值影响
• 常用于增长率数据的研究
• 所有数据需＞0

 

3. 调和平均数——（用的比较少）

（1）定义：变量值倒数的算术平均数的倒数

（2）表示符号：H

（3）计算

简单调和平均数

加权调和平均数

 

（4）特点：

• .易受极端值影响
• 常用于效率数据的研究
• 有一项为0就无法计算H

1.2.4 均值不等式

对于同一组数据，一定满足：

算数平均数 ≥ 几何平均数 ≥ 调和平均数

当所有数据取值相同时，等号成立。（所有样本值相同的时候）

II. 离散程度的描述——变异指标

2.1 变异指标

（1）定义

反映各变量值远离其中心值的程度，是数据分布的另一个重要特征

从另一个侧面说明 集中趋势测度值的代表程度  （数据距离集中区域分散程度）

离散程度越大，均值代表的东西就越少。

 2.1.1 极差（range）

1.定义：一组数据的最大值与最小值之差

这组数据整体处在数轴的什么位置

2.表示符号：R

3.计算

R=max(Xi)−min(Xi)" role="presentation">R=max(Xi)−min(Xi)$R=max(Xi)-min(Xi)$

4.特点

离散程度的最简单测度值

极易受极端值影响

未考虑数据的分布

示例：

2.1.2 平均差（mean deviation）

1.定义 ：各变量值与其均值离差绝对值的平均数

所有样本值到均值的平均距离 ——平均差

2.表示符号：Md" role="presentation">Md$M_d$

3.计算

4.特点：

• 能全面反映一组数据的离散程度

平均差越大，代表数据越分散。9

• 数学性质较差，实际中应用较少  （比如 不可导点）

【Practice】

先算均值，用样本值减去均值

 

2.1.3 方差和标准差

（一）根据总体数据计算的，称为总体方差、总体标准差

（二）根据

   标准差，方差直接开根号

 【样本方差自由度】——计算公式的分母（n-1）

自由度指一组数据中科自由取值的数据的个数

总体有关系的都是定值，确定存在的常数。

 

2.2 离散系数/变异系数

（1）离散系数/变异系数

 

变异系数= 标准差除以均值。

上图结果：离散系数相同

需要对比两件事物的离散程度，是利用变异系数进行对比。