融合Sin混沌和分段权值的阿基米德优化算法-附代码

融合Sin混沌和分段权值的阿基米德优化算法

摘要：针对阿基米德优化算法（Archimedes Optimization Algorithm，AOA）存在全局搜索能力弱、收敛精度低，易陷入局部最优等问题，提出融合Sin混沌和分段权值的阿基米德优化算法（SAOA）。首先，采用无限折叠迭代的Sin混沌反向学习策略初始化种群，提高初始阶段解的质量，为全局搜索多样性奠定基础；其次，引入算数交叉算子，将当前个体向与全局最优个体进行交叉，引导种群向最优解区域寻优，提高全局搜索能力；同时，引入分段权值策略，平衡算法的全局勘探与局部开发能力，降低算法陷入局部最优的概率；

1.阿基米德优化算法

基础阿基米德优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/119999874

2. 改进阿基米德优化算法

2.1 Sin混沌反向学习初始化策略

种群初始多样性可以有效地扩大算法的搜索范围, 从而提高算法的寻优精度和收敛速度 ${}^{[11]}$ 。混沌经常被 用于优化问题, 其基本原理是通过映射关系在混沌变 量空间 $[0,1]$ 之间产生混沌序列, 再将其转化到个体的 优化变量空间内。 $\mathrm{Sin}$ 混沌模型是一种具有较好遍历 性和随机性的映射折叠次数无限的混沌模型。反向学 好的解, 从而引导个体寻找最优解。因此, 本文先利 用 Sin 混沌产生多样性较好的初始种群; 其次, 根据 反向学习产生反向种群; 最后, 分别计算 Sin 混沌初 始种群及反向种群的适应度, 选择适应度低的解作为 初始种群, 提高了找到最优初始解的概率, 从而使种 群向全局最优解靠近。Sin 混沌 1 维映射表达式如下:
{ X n + 1 = sin ⁡ ( 2 / X n ) n = 0 , 1 , … , N − 1 ≤ X n ≤ 1 X n ≠ 0 (10)

\tag{10} {Xn+1​=sin(2/Xn​)−1≤Xn​≤1​n=0,1,…,NXn​=0​(10)
式 (10): $X_{\mathrm{n}}$ 是取值为 $(-1,1)$ 的序列且初始值不能设置为 0 。将 Sin 混沌序列映射到解空间中, 得到种群 X = { X i X=\left\{X_i\right. X={Xi​, i = 1 , 2 , … N } , X j = { X j , j = 1 , 2 , … , dim ⁡ } i=1,2, \ldots N\}, X_j=\left\{X_j, j=1,2, \ldots, \operatorname{dim}\right\} i=1,2,…N},Xj​={Xj​,j=1,2,…,dim}, 种群个体表示如 F:
$$X_{i+1,j}=\sin \left(2/X_{i,j}\right)\text{\hspace{1em}(11)}$$
式中: $X_{i+1,j}$ 为第 $i+1$ 个种群的第 $j$ 维值。
由种群 $X$ 计算反向种群 X ∗ = { X i ∗ , i = 1 , 2 , … , N } X^*=\left\{X_i^*, i=1,2, \ldots, N\right\} X∗={Xi∗​,i=1,2,…,N},
$X_i^{\ast }=\left\{X_{ij}^{\ast },j=1,2,\dots ,\dim \right\}$, 反向种群个体 $X_{ij}{}^{\ast }$ 表示如下:
$$X_{ij}^{\ast }=x_{\min j}+x_{\max j}-X_{ij}\text{\hspace{1em}(12)}$$
式中: $\left[X_{\mathrm{minj}},X_{\mathrm{maxj}}\right]$ 为搜索空间的动态边界。将 $\mathrm{Sin}$ 混 池种群 $X$ 和反向种群 $X^{\ast }$ 组成新种群 { X ∪ X ∗ } \left\{X \cup X^*\right\} {X∪X∗}, 将新种 群的适应度值进行排序, 选择 $N$ 个适应度值最优的个 体组成初始种群。

2.2 算数交叉算子

在标准的 AOA 中，碰撞个体根据公式(6)迚行全局搜索，由于没有任何先验条件可以使用，仅依靠种群中随机个体的引导迚行种群位置更新，随机个体可能是一个质量较好的解，也可能是一个较差的解，导致算法的全局寻优性能较弱。因此，为提高标准AOA 的全局搜索性能，本文引入的算术交叉算子，表达式如公式(13)所示:
$$X_{new}^{t+1}=\lambda \times X_i^{t+1}+(1-\lambda )\times \left(X_{\text{best }}-X_i^{t+1}\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$
式中: $\lambda \in (0,1)$ 表示随机数。
SAOA 选择当前个体与全局最优个体进行算术交 叉, 产生新的子代个体更靠近当前最优解, 从而加快 群体向全局最优区域靠笼, 同时算术交叉算子给予当 前个体向优秀个体学习的能力, 增强种群信息分享能 力, 从而增加种群多样性。将当前个体与全局最优个 体进行交叉后, 虽然能增强算法全局搜索能力, 但是 无法直接判断产生的新个体是否优于原始个体。因此, 通过交叉选择后, 利用贪婪机制比较新旧个体适应度 值, 再决定是否更新当前个体, 通过这种方式不断获 得更优解, 从而提升算法全局寻优性能。其中贪婪机 制的数学模型如公式(14)所示:
X i t + 1 = { X i t + 1 f ( X i t + 1 ) < f ( X new  t + 1 ) X new  t + 1 f ( X i t + 1 ) ≥ f ( X new  t + 1 ) (14) X_i^{t+1}=

\tag{14} Xit+1​={Xit+1​Xnew t+1​​f(Xit+1​)<f(Xnew t+1​)f(Xit+1​)≥f(Xnew t+1​)​(14)

2.3 分段权值策略

在标准 $\mathrm{AOA}$ 中, 转移因子 $TF$ 取值为 $(0.36,1)$, 当 $TF>0.5$ 时, 算法进行局部开发, 最优个体引导种 群进行位置更新, 但是当最优个体陷人局部极值空间 时, 种群将受其影响陷人局部最优, 使得算法出现 “早熟”现象。为解决这个问题，本文提出分段权值 的位置更新策略, 首先, 借鉴双曲正切函数的思想, 本文在算法迭代前中期种群位置更新处引人动态双曲 正切权值 $w$, 其值随迭代次数的增加呈非线性递减, 其次, 在算法迭代后期, 引人正弦波动权值, 降低算 法陷人局部最优的概率。本文所采用的动态双曲正切 权值, 在算法迭代前期, $\mathrm{SAOA}$ 获得较大权值以保证 其在更广阔的区域搜索最优解, 在算法迭代中期, SAOA 获得较小权值, 使当前个体可以在最优个体附 进行精确搜索，达到平衡全局搜索与局部开发的能力, 算法迭代后期, 利用正弦波不规则变换的特点来增强 最优个体在局部空间开发的多元性, 协助种群跳出局 部最优。分段权值 $w$ 的计算公式如(15)所示:

{ w = w start  − ( w start  − w end  ) × tanh ⁡ ( ( α × p i × ( t / t max ⁡ ) ) ) t ≤ δ w = β 1 × ( ( β 2 × p i × t + β 3 × p i ) + θ ) t > δ (15)

\tag{15} {w=wstart ​−(wstart ​−wend ​)×tanh((α×pi×(t/tmax​)))w=β1​×((β2​×pi×t+β3​×pi)+θ)​t≤δt>δ​(15)

式中: $w_{\text{start }}$ 表示迭代开始时的初始权值, 即当 $t=0$ 时, $w_{\text{start }}=0.8,w_{\text{end }}$ 表示迭代结束时的权值, 即当 $t=t_{\text{max }}$, $w_{\text{end }}=0.4\circ \delta$ 为迭代次数, ${\beta }_1=0.23，{\beta }_3=1.6，\theta =0.3。\alpha$和 ${\beta }_2$ 为调节因子, 控制曲线的平滑度, 经过多次实验 验证, 当 $\alpha =0.75$ 和 ${\beta }_2=0.06$ 时, 实验结果为最优。

因此，AOA 引入分段权值策略后全局搜索阶段的个体位置更新公式为：
$$x_i^{t+1}=w\times x_i^t+c_1\times rand\times ac{c}_{i-\text{ norm }}^{t+1}\times d\times \left(x_{\text{rand }}-x_i^t\right)\text{\hspace{1em}(16)}$$

局部开发阶段个体位置更新公式为:
$$x_i^{t+1}=w\times x_{\text{bet }}^t+F\times c_2\times \text{ rand }\times ac{c}_{i-\text{ nomn }}^{t+1}\times d\times \left(T\times x_{\text{bet }}-x_i^t\right)\text{\hspace{1em}(17)}$$

3.实验结果

4.参考文献

[1]罗仕杭,何庆.融合Sin混沌和分段权值的阿基米德优化算法[J/OL].计算机工程与应用:1-12[2021-10-12].http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20210913.1319.012.html.

5.Matlab代码

6.Python代码