【题解】同济线代习题一.6.2

题目

证明：
∣ a x + b y a y + b z a z + b x a y + b z a z + b x a x + b y z x + b x a x + b y a y + b z ∣ = ( a 3 + b 3 ) ∣ x y z y z x z x y ∣

= (a^3+b^3) ​ax+byay+bzzx+bx​ay+bzaz+bxax+by​az+bxax+byay+bz​ ​=(a3+b3) ​xyz​yzx​zxy​ ​

解答

∣ a x + b y a y + b z a z + b x a y + b z a z + b x a x + b y a z + b x a x + b y a y + b z ∣ = a ∣ x a y + b z a z + b x y a z + b x a x + b y z a x + b y a y + b z ∣ + b ∣ y a y + b z a z + b x z a z + b x a x + b y x a x + b y a y + b z ∣ = a 2 ∣ x y a z + b x y z a x + b y z x a y + b z ∣ + a b ∣ x z a z + b x y x a x + b y z y a y + b z ∣ + a b ∣ y y a z + b x z z a x + b y x x a y + b z ∣ + b 2 ∣ y z a z + b x z x a x + b y x y a y + b z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + a 2 b ∣ x y x y z y z x z ∣ + a 2 b ∣ x z z y x x z y y ∣ + a b 2 ∣ x z x y x y z y z ∣ + 0 + a b 2 ∣ y z z z x x x y y ∣ + b 3 ∣ y z x z x y x y z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + b 3 ∣ y z x z x y x y z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + b 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ = ( a 3 + b 3 ) ∣ x y z y z x z x y ∣

​ax+byay+bzaz+bx​ay+bzaz+bxax+by​az+bxax+byay+bz​ ​​=a ​xyz​ay+bzaz+bxax+by​az+bxax+byay+bz​ ​+b ​yzx​ay+bzaz+bxax+by​az+bxax+byay+bz​ ​=a2 ​xyz​yzx​az+bxax+byay+bz​ ​+ab ​xyz​zxy​az+bxax+byay+bz​ ​+ab ​yzx​yzx​az+bxax+byay+bz​ ​+b2 ​yzx​zxy​az+bxax+byay+bz​ ​=a3 ​xyz​yzx​zxy​ ​+a2b ​xyz​yzx​xyz​ ​+a2b ​xyz​zxy​zxy​ ​+ab2 ​xyz​zxy​xyz​ ​+0+ab2 ​yzx​zxy​zxy​ ​+b3 ​yzx​zxy​xyz​ ​=a3 ​xyz​yzx​zxy​ ​+0+0+0+0+0+b3 ​yzx​zxy​xyz​ ​=a3 ​xyz​yzx​zxy​ ​+b3 ​xyz​yzx​zxy​ ​=(a3+b3) ​xyz​yzx​zxy​ ​​

得证。