• 【题解】同济线代习题一.6.2


    题目

    证明:
    ∣ a x + b y a y + b z a z + b x a y + b z a z + b x a x + b y z x + b x a x + b y a y + b z ∣ = ( a 3 + b 3 ) ∣ x y z y z x z x y ∣

    |ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byzx+bxax+byay+bz|" role="presentation" style="position: relative;">|ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byzx+bxax+byay+bz|
    = (a^3+b^3)
    |xyzyzxzxy|" role="presentation" style="position: relative;">|xyzyzxzxy|
    ax+byay+bzzx+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz =(a3+b3) xyzyzxzxy

    解答

    ∣ a x + b y a y + b z a z + b x a y + b z a z + b x a x + b y a z + b x a x + b y a y + b z ∣ = a ∣ x a y + b z a z + b x y a z + b x a x + b y z a x + b y a y + b z ∣ + b ∣ y a y + b z a z + b x z a z + b x a x + b y x a x + b y a y + b z ∣ = a 2 ∣ x y a z + b x y z a x + b y z x a y + b z ∣ + a b ∣ x z a z + b x y x a x + b y z y a y + b z ∣ + a b ∣ y y a z + b x z z a x + b y x x a y + b z ∣ + b 2 ∣ y z a z + b x z x a x + b y x y a y + b z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + a 2 b ∣ x y x y z y z x z ∣ + a 2 b ∣ x z z y x x z y y ∣ + a b 2 ∣ x z x y x y z y z ∣ + 0 + a b 2 ∣ y z z z x x x y y ∣ + b 3 ∣ y z x z x y x y z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + b 3 ∣ y z x z x y x y z ∣ = a 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ + b 3 ∣ x y z y z x z x y ∣ = ( a 3 + b 3 ) ∣ x y z y z x z x y ∣

    |ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz|=a|xay+bzaz+bxyaz+bxax+byzax+byay+bz|+b|yay+bzaz+bxzaz+bxax+byxax+byay+bz|=a2|xyaz+bxyzax+byzxay+bz|+ab|xzaz+bxyxax+byzyay+bz|+ab|yyaz+bxzzax+byxxay+bz|+b2|yzaz+bxzxax+byxyay+bz|=a3|xyzyzxzxy|+a2b|xyxyzyzxz|+a2b|xzzyxxzyy|+ab2|xzxyxyzyz|+0+ab2|yzzzxxxyy|+b3|yzxzxyxyz|=a3|xyzyzxzxy|+0+0+0+0+0+b3|yzxzxyxyz|=a3|xyzyzxzxy|+b3|xyzyzxzxy|=(a3+b3)|xyzyzxzxy|" role="presentation" style="position: relative;">|ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz|=a|xay+bzaz+bxyaz+bxax+byzax+byay+bz|+b|yay+bzaz+bxzaz+bxax+byxax+byay+bz|=a2|xyaz+bxyzax+byzxay+bz|+ab|xzaz+bxyxax+byzyay+bz|+ab|yyaz+bxzzax+byxxay+bz|+b2|yzaz+bxzxax+byxyay+bz|=a3|xyzyzxzxy|+a2b|xyxyzyzxz|+a2b|xzzyxxzyy|+ab2|xzxyxyzyz|+0+ab2|yzzzxxxyy|+b3|yzxzxyxyz|=a3|xyzyzxzxy|+0+0+0+0+0+b3|yzxzxyxyz|=a3|xyzyzxzxy|+b3|xyzyzxzxy|=(a3+b3)|xyzyzxzxy|
    ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz =a xyzay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz +b yzxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz =a2 xyzyzxaz+bxax+byay+bz +ab xyzzxyaz+bxax+byay+bz +ab yzxyzxaz+bxax+byay+bz +b2 yzxzxyaz+bxax+byay+bz =a3 xyzyzxzxy +a2b xyzyzxxyz +a2b xyzzxyzxy +ab2 xyzzxyxyz +0+ab2 yzxzxyzxy +b3 yzxzxyxyz =a3 xyzyzxzxy +0+0+0+0+0+b3 yzxzxyxyz =a3 xyzyzxzxy +b3 xyzyzxzxy =(a3+b3) xyzyzxzxy

    得证。

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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/Changxing_J/article/details/126696222