通信原理学习笔记6-1：数字解调——基础解调链路、匹配滤波器和AWGN信道最佳接收机

基础的数字解调链路

基础的解调链路由下变频、匹配滤波器、抽样、判决组成

• 下变频将带通信号变为低通信号
• 匹配滤波器是为了尽可能滤去噪声，保证抽样时刻的信噪比最大
• 抽样判决：在合适时刻对接收信号抽样，并且根据门限进行判决

匹配滤波器和AWGN信道最佳接收机

发射信号经过AWGN信道，混入噪声；
接收端下变频后，我们用匹配滤波器尽量减小信道噪声的影响

• 匹配滤波器：保证输出信号的信噪比最大化
  原理：若输入的信号为$s(t)$，那么匹配滤波器为$h(t)=s(T-t)$，输出信号在$t=T$时刻采样，可以得到最大的信噪比（因为输出刚好就是输入信号的自相关函数$y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(\tau )h(t-\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }s(\tau )s(T-t+\tau )\mathrm{d}\tau =R_s(T-t)$，其中假设$s(t)$各态历经）
• 可见，匹配滤波器的选择，取决于发送端的成形滤波器的选择
  由于要满足Nyquist准则（避免ISI），之前说过发送机的成形滤波器为升余弦滚降滤波器RC
  然而，实际中发端的成形滤波器和收端的匹配滤波器不能同时使用RC，因为一个RC能够满足Nyquist准则，两个叠加反而不行

由此，综合考虑无ISI（升余弦滚降滤器）和信噪比最大化（匹配滤波器），得到AWGN信道的最佳接收机：发端成形滤波器使用RRC，而收端匹配滤波器也使用RRC：

• 平方根升余弦滤波器RCC的时域响应，就是升余弦滤波器RC的平方根
• ①收发端两个RRC合起来等效于一个RC滤波器，满足奈奎斯特准则，从而无ISI
• ②发端使用RC滤波器，收端也使用RC滤波器作为匹配滤波器，从而保证信噪比最大
  其中，若发射端成形滤波器（RRC）记为$g(t)$，那么接收端的匹配滤波器为$g(T-t)$，采样判决时刻为$T$

采样判决时刻的选择：

理想情况，接收端可以直接使用与发射端相同的RRC滤波器$g(t)$，这应该理解为$T=0$的匹配滤波器$g(T-t)$

• 实际不能直接用$g(t)$作为匹配滤波器，因为接收端$g(t)$是非因果的，因此实际的匹配滤波器仍然需要一个延时$T$，即$g(T-t)$，同时采样时刻对应延时$T$
• 就是说对于任意位置$n$上的一个符号$I_n$，采样时刻$T+n{T}_s$（在各个符号周期，延迟$T$时刻采样）

系统模型

ps. 实际中的解调链路还需要符号同步模块，用于对准采样判决时刻，在后续文章会提到

整体建模如下（形滤波器使用RRC，记为$g(t)$）：

• 发射端基带信号$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{I}_{n}g\left(t-n{T}_s\right)$$
  其中，在PAM调制下$I_n$为实数，在QAM/PSK调制下$I_n$为复数（认为是两路实信号，下面只考虑实信号情况，复信号情况可做类似处理）
• 经过AWGN信道和下变频，接收端基带信号$$r(t)=s(t)+n(t)$$

由于上面说过，匹配滤波器也使用RRC，两个RRC合并可以实现无ISI，因此下面无需考虑多个符号，只考虑一个符号的情况，即下面只考虑任意位置$n$上的一个符号$I_n$

• 在发射端$s(t)=I_{n}g(t-n{T}_s)$

• 经过AWGN信道，叠加噪声$r(t)=I_{n}g(t-n{T}_s)+n(t)$

• 经过匹配滤波器$g(T-t)$（如前面采样时刻部分所述，实际的匹配滤波器仍然需要一个延时$T$）
  根据$x(t)\ast y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )y(t-\tau )d\tau$
  当$y(t)=g(T-t)时$$x(t)\ast y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )g[T-(t-\tau )]d\tau$，则有
  $$y(t)=r(t)\ast g(T-t)=I_n{\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau -n{T}_s)g[T-(t-\tau )]\mathrm{d}\tau +{\int }_{-\infty }^{\infty }n(\tau )g[T-(t-\tau )]\mathrm{d}\tau$$

• 采样时刻：对于任意位置$n$上的一个符号$I_n$，采样时刻$T+n{T}_s$

• 采样后的结果
  $$y(T+n{T}_s)=I_n{\int }_{-\infty }^{\infty }{g}^2(\tau -n{T}_s)\mathrm{d}\tau +{\int }_{-\infty }^{\infty }n(\tau )g(\tau -n{T}_s)\mathrm{d}\tau$$
  忽略其中的系数${\mathcal{E}}_g={\int }_{-\infty }^{\infty }{g}^2(\tau -n{T}_s)\mathrm{d}\tau$，即上式除以${\mathcal{E}}_g$
  则采样后得到的一个符号$Y_n$可以简记为：$$Y_n=I_n+n_n，其中n_n=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }n(\tau )g(\tau -n{T}_s)\mathrm{d}\tau }{{\mathcal{E}}_g}$$

注意，上面其实还默认忽略了匹配滤波器$kg(T-t)$的增益系数$k$，我们忽略这些无关紧要的系数，因为后续的信道估计可以估计出整个信道的总体等效增益，这些系数的差别也隐含在信道增益中