四元数Quaternion的基本运算

技术背景

在前面一篇文章中我们介绍了欧拉角死锁问题的一些产生背景，还有基于四元数的求解方案。四元数这个概念虽然重要，但是很少会在通识教育课程中涉及到，更多的是一些图形学或者是工程学当中才会进行讲解。本文主要是面向四元数，相比上一篇文章更加详细的介绍和总结一下四元数的一些运算法则，还有基于四元数的插值法。

基本运算

说到四元数，很多人可能会觉得有点陌生，但是如果说复数，很多人就都有学习过。我们一般用z=x+iy这样的形式去定义一个复数（Complex Number），其中x是实部，而y是虚部，i是虚数单位，并且有i2=−1这样的特性。并且对于一个虚数而言，如果取自然指数（运算规则为：eiθ=cosθ+i sinθ），还能够得到一个很美的数学公式：eiπ=−1，这就是非常著名的欧拉公式。

而四元数Quaternion这个概念的提出，更像是对复数的一个扩展，我们通常把四元数写成这样的形式：

q=s+ix+jy+kz

其中s,x,y,z都是实数，并满足这样的一些运算规则：

i2=j2=k2=ijk=−1i×j=k,j×k=i,k×i=jj×i=−k,k×j=−i,i×k=−j

以上都是四元数的一些基本定义，接下来我们逐一看一下四元数的一些基本运算。

四元数加法

两个四元数的加法就是将“实部虚部”对应位置做元素求和：

q1+q2=(s1+ix1+jy1+kz1)+(s2+ix2+jy2+kz2)=(s1+s2)+i(x1+x2)+j(y1+y2)+k(z1+z2)

可以简单证明，四元数的加法满足交换律、结合律和分配律，这里不过多展开介绍。

四元数缩放

在系数缩放这一点上，四元数与复数是一致的：

λq=λs+iλx+jλy+kλz

逐一对四元数中的各项元素进行缩放即可。

四元数乘法

四元数的乘法是所有元素之前都要运算一遍：

q1q2=(s1+ix1+jy1+kz1)∗(s2+ix2+jy2+kz2)=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2) +i(s1x2+s2x1+y1z2−y2z1) +j(s1y2+s2y1+x2z1−x1z2) +k(s1z2+s2z1+x1y2−x2y1)

这个运算过程是这样的，我们令q=q1q2=s+ix+jy+kz，那么这个乘法运算最终组成s这个元素的，分别是s1∗s2,(ix1)∗(ix2),(iy1)∗(iy2),(iz1)∗(iz2)这些项，而i2=j2=k2=−1，因此最终得到s=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2)。但是直到这里为止，我们所涉及到的元素乘法只是在“实部”和相同的“虚数单位”之间的运算，如果一旦涉及到不同的“虚数单位”之间的乘法运算，那就要自动转化成向量叉乘，比如ij=ji=k。因此，我们要计算q中的z项的时候，只需要计算s1z2,s2z1,x1y2,x2y1这些项即可，同时注意符号的变换，那么得到的最终的结果就是如上所示。

需要注意的是，四元数与复数的最大的一点不同，复数乘法是有交换律的，而四元数没有。举个例子说，我们可以计算一下q1,q2的对易：

[q1,q2]=q1q2−q2q1=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2)+i(s1x2+s2x1+y1z2−y2z1)+j(s1y2+s2y1+x2z1−x1z2)+k(s1z2+s2z1+x1y2−x2y1)−(s2s1−x2x1−y2y1−z2z1)−i(s2x1+s1x2+y2z1−y1z2)−j(s2y1+s1y2+x1z2−x2z1)−k(s2z1+s1z2+x2y1−x1y2)=2i(y1z2−y2z1)+2j(x2z1−x1z2)+2k(x1y2−x2y1)

那么也就是说，这两个四元数q1,q2之间是非对易的，也就是不可交换的。但是，四元数的运算是满足结合律和分配率的。

由于上面的这种四元数乘法展开，写起来过于繁杂，我们考虑对其进行一定的简化。如果我们假定2个纯虚数（s=0）：

a=ix1+jy1+kz1b=ix2+jy2+kz2

其实类似于这种形式的四元数，实际上就是三维空间中的向量，那么这两者的点积和叉积有：

a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2a×b=(y1z2−y2z1)i+(z1x2−z2x1)j+(x1y2−x2y1)k

需要注意的是，这里的叉积是向量叉积，跟四元数中的“虚数单位”相比，最大的一点不同就是：在向量叉积中，i×i=0，但是在四元数的乘法中，i×i=−1（非常重要）。

那么在有了以上的两个公式之后，我们就可以对四元数的乘法表示做一个简化：

q1q2=s1s2−a⋅b+sab+sba+a×b

实四元数和纯四元数

对于一个实四元数而言，就是取x=y=z=0：

qr=s

对于一个纯四元数而言，就是取s=0：

qi=ix+jy+kz

四元数共轭

对四元数的所有“虚部”取负数，即是四元数的共轭：

q∗=s−ix−jy−kz

单位四元数

四元数的模的定义跟复数是一致的：

|q|=√s2+x2+y2+z2=√qq∗

而单位四元数的定义即是模为1的四元数：

s2+x2+y2+z2=1

如果给定的一个四元数不是单位四元数，那么我们可以对其进行规范化：

q′=q√s2+x2+y2+z2

四元数的逆

对于一个单位四元数而言，因为有qq∗=1，所以单位四元数的逆就是其共轭四元数。如果是对于更加一般的场景，我们可以这样考虑：

q(q−1∗|q|2)=|q|2qq∗=|q|2q−1=q∗|q|2

比较特殊地，对于单位四元数q−1=q∗。

四元数的二元表示

类似于复数的二元形式，通常一个四元数也可以被表示成如下的二元形式：

q=s+vˆq=[s,vˆq]

其中v=[x,y,z],ˆq=[i,j,k]。关于此处的乘法描述，其实有一定的不严谨性，因为它既不是点积，也不是叉积，也不是外积，而是普通的元素乘。这种元素乘的概念在计算机领域是很常用的，但是在数学上其实并不是很常用。在这种二元描述下，四元数的乘法形式会略有调整：

q1q2=[s1s2−(v1ˆq1)⋅(v2ˆq2),s1v2ˆq2+s2v1ˆq1+(v1ˆq1)×(v2ˆq2)]

四元数点积

上面的章节中提到过四元数的普通乘法，但其实四元数也像普通的向量一样可以进行点积运算：

q1⋅q2=s1s2+v1⋅v2

这也是受益于四元数的二元表示，使得我们在书写结果的时候可以更加的简练。

四元数的指数

我们先来回顾一下复数z=x+iy的指数计算，根据泰勒展开公式f(x)=∑nf(n)(x0)n!(x−x0)n（比较特殊地，ex=∑∞k=0xkk!）对ez在y=0处的展开有：

ez=ex+iy=exeiy=ex(1+iy−12!y2−i3!y3+14!y4+i5!y5−16!y6−i7!y7+...)

对比一下常用的三角函数的泰勒展开式（相关证明见参考链接2）：

sin x=x−13!x3+15!x5−17!x7+...cos x=1−12!x2+14!x4−16!x6+...

代入可得：

ez=exeiy=ex(cos y+i sin y)

也即，对于一个纯虚数iθ而言，其指数为：eiθ=cosθ+i sinθ。那么类似的，对于一个二元表示的四元数q=s+vˆq有：

eq=es+vˆq=es(1+vˆq−12!(vˆq)2−13!(vˆq)3+14!(vˆq)4+15!(vˆq)5−16!(vˆq)6−17!(vˆq)7+...)

这里有一点不同的是，我们计算四元数的幂次的时候需要谨慎，可以先手动计算一下：

(vˆq)2=0−(vˆq)⋅(vˆq)+0+0+(vˆq)×(vˆq)=−|v|2(vˆq)3=−|v|2(vˆq)(vˆq)4=|v|4(vˆq)5=|v|4(vˆq)(vˆq)6=−|v|6(vˆq)7=−|v|6(vˆq)...

代入四元数的指数部分进行计算可得：

eq=es+vˆq=es(1+vˆq−12!|v|2−13!|v|2(vˆq)+14!|v|4+15!|v|4(vˆq)−16!|v|6−17!|v|6(vˆq)+...)=es(cos|v|+vˆq|v|sin|v|)

这就是四元数的指数运算。

四元数的指数表示

区分于上一个章节中的四元数的指数运算，这个章节我们是要用一个指数形式去表示任意给定的一个四元数。因为在上一个章节中我们发现，一个四元数的指数形式是另外一个四元数，因此，理论上说我们可以用一个指数形式来表示任意的一个四元数。我们首先还是参考一下复数的指数表示：

z=x+iy=√x2+y2(x√x2+y2+iy√x2+y2)=√x2+y2eiy|y| arccos(x√x2+y2)

类似地，一个四元数可以表示为：

q=s+vˆq=√s2+|v|2(s√s2+|v|2+vˆq|v||v|√s2+|v|2)=√s2+|v|2eˆqv|v| arccos(s√s2+|v|2)

比较有意思的是，如果我们取q=s+ix+jy+kz中的y=0,z=0时，我们发现v=±|v|,ˆq=i，这样一来，四元数的指数表示形式就和复数的指数表示形式完全对应上了。

四元数的对数

在上一个章节中，如果我们把一个四元数表示成一个指数的形式，就会很大程度上方便我们去计算一个四元数q=s+vˆq的对数：

log(q)=log(√s2+|v|2eˆqv|v| arccos(s√s2+|v|2))=log(√s2+|v|2)+ˆqv|v| arccos(s√s2+|v|2)

这样就得到了四元数的对数的二元表示形式。

四元数的幂次

了解了四元数的指数和对数的计算模块之后，我们可以计算一个四元数的幂次。正是由于四元数的指数表示形式，使得我们可以将四元数的幂次简单的转化成乘法的表示形式：

qt=[√s2+|v|2eˆqv|v| arccos(s√s2+|v|2)]t=(s2+|v|2)t2eˆqvt|v| arccos(s√s2+|v|2)

那么这就得到了四元数的幂次表达形式。

欧拉角旋转四元数

在上一篇文章中我们提到过，每一个四元数其实都可以对应于三维空间的一个向量旋转，一个四元数q作用在一个空间向量v上就会旋转得到一个新的空间向量：

v′=qvq∗

而如果给定了三维空间中的旋转欧拉角，在四元数中就可以表示为相应的旋转四元数。比如绕X轴旋转β角所对应的四元数为：q=cosβ2+i sinβ2，绕Y轴旋转α角所对应的四元数为：q=cosα2−j sinα2，绕Z轴旋转γ角所对应的四元数为：q=cosγ2+k sinγ2。而通常使用的ZXY顺规可表示为：

q=(cosα2−j sinα2)(cosβ2+i sinβ2)(cosγ2+k sinγ2)

关于更多的旋转四元数的内容，可以阅读一下参考链接3中的内容。

向量变换四元数

这个问题的定义是比较清晰的，如果给定空间中的两个不同的向量，能否直接获得这两个向量之间变换的四元数呢？如果用公式来表示就是：已知v1,v2两个空间向量，求q使得v2=qv1q∗。关于这个问题的求解，在参考链接3中也是有介绍的，这里再简单提一下计算方法：

u=v1×v2cosθ=v1⋅v2|v1||v2|q=cosθ2+i sinθ2u⋅i+j sinθ2u⋅j+k sinθ2u⋅k

这个算法的本质，其实就是先用向量叉乘找到旋转轴，然后计算两个向量之间的夹角，最后再使用四元数的绕旋转轴旋转指定角度的公式计算，就可以得到对应的空间向量变换的四元数。

旋转四元数和变换四元数的不对等场景

这里为了区分欧拉角旋转的四元数和绕轴旋转的四元数，我们将其分别称呼为旋转四元数与变换四元数。其实要证明二者是不对等的也很容易，只要举出一个例子来证明二者作用的结果不相等即可。其实在参考链接3中已经给出了类似的案例，这里我们再举一个简单例子来进行探讨。首先我们给定一个初始空间向量：

v1=i

我们使其先绕Y轴旋转90度，再绕Z轴旋转90度，那么利用四元数进行计算，得到的结果是：

qrot=(cosγ2+k sinγ2)(cosβ2−j sinβ2)v2=qv1q∗=k

也就是说，在这个欧拉角对应的旋转变换下，我们将一个向量从X轴正方向变换到了Z轴的正方向上。那么如果我们考虑使用向量绕轴旋转的公式来计算的话：

u=v1×v2=i×k=−jcosθ=v1⋅v2|v1||v2|=0qtrans=cosθ2+i sinθ2u⋅i+j sinθ2u⋅j+k sinθ2u⋅k=√22−j√22

显然，qrot≠qtrans，只是在这个案例下有：

qrotv1q∗rot=qtransv1q∗trans=v2

我们只需要换一个初始空间向量，比如我们将初始向量设置为Z轴的负方向，即：v1=−k，那么再看看两个变换所对应的结果：

qrotv1q∗rot=14(1+i−j+k)(−k)(1−i+j−k)=jqtransv1q∗trans=12(1−j)(−k)(1+j)=i

显然这两个变换之后的结果是不同的。其实道理很简单，i在qrot的作用下，先绕Y轴转90度，刚好就到了Z轴正方向上，此时再绕Z轴旋转是不会动的。而qtrans，就只是绕Y轴旋转90度的一个操作，因为从客观的变换来说，qrot作用在i上就等价于只绕Y轴旋转了90度。这就是旋转的特殊性，在很多情况下，欧拉角的旋转跟绕轴旋转是不能画上等号的。

总结概要

本文主要介绍四元数Quaternion的一些基本运算法则。四元数的概念，更像是复数的一个推广，在图形学和工程学中有大量的应用，在蛋白质结构预测软件AlphaFold和MEGA-Protein中都大量的使用了四元数的计算。而大部分的四元数的教材中写的计算法则，经常把各类乘法混在一起使用，阅读起来非常难受，因此只好自己总结一下四元数的相关运算。并且跟我们所熟悉的复数运算有一定的对比，更加容易去理解四元数的概念。

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参考链接

1. https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
2. http://www.songho.ca/math/taylor/taylor_tri.html
3. https://www.cnblogs.com/dechinphy/p/quaternion.html