Chapter0.1：拉普拉斯变换

本专栏是《自动控制原理》(胡寿松)第七版课后习题精选。

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1.拉普拉斯变换

1.1 拉普拉斯变换

设$f(t)$为时间$t$的函数，且当$t<0$时，$f(t)=0$，则$f(t)$的拉普拉斯变换定义为：
$$F(s)=L[f(t)]={\int }_0^{\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(1)}$$
拉普拉斯反变换：
$$f(t)=L^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi \mathrm{j}}{\int }_{c-\mathrm{j}\infty }^{c+\mathrm{j}\infty }F(s){\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s$$
其中：收敛横坐标$c$为实常量，其实部应大于$F(s)$所有奇点的实部；

1. 拉普拉斯变换的存在性

   • 如果拉普拉斯积分收敛，则函数$f(t)$的拉普拉斯变换存在；若存在一个正实常数$\sigma$，使得函数${\mathrm{e}}^{-\sigma t}|f(t)|$在$t$趋于无穷大时趋于零，则称函数$f(t)$为指数级的；
   • 如果$f(t)$在$t>0$范围内的每一个有限区间上分段连续，且当$t$趋于无穷大时函数$f(t)$为指数级别的，则$f(t)$的拉普拉斯积分是收敛的；
   • 在物理上可以实现的信号，总是可以进行拉普拉斯变换的；

2. 指数函数
   f ( t ) = { 0 , t < 0 A e − α t , t ≥ 0 , 其中： A 和 α 为常数； (2) f(t)=

   {0,t<0Ae−αt,t≥0" role="presentation">{0,Ae−αt,t<0t≥0$$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ A{\mathrm{e}}^{-\alpha t},& t\ge 0\end{array}$$
   ,其中：A和\alpha为常数；\tag{2} f(t)={0,Ae−αt,​t<0t≥0​,其中：A和α为常数；(2)
   指数函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)={\int }_0^{\infty }A{\mathrm{e}}^{-\alpha t}{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s+\alpha }\text{\hspace{1em}(3)}$$

3. 阶跃函数
   f ( t ) = { 0 , t < 0 A , t > 0 ，其中： A 为常数， A = 1 ( t ) 时为单位阶跃函数 (4) f(t)=

   {0,t<0A,t>0" role="presentation">{0,A,t<0t>0$$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ A,& t>0\end{array}$$
   ，其中：A为常数，A=1(t)时为单位阶跃函数\tag{4} f(t)={0,A,​t<0t>0​，其中：A为常数，A=1(t)时为单位阶跃函数(4)
   阶跃函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)={\int }_0^{\infty }A{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s}\text{\hspace{1em}(5)}$$

4. 斜坡函数
   f ( t ) = { 0 , t < 0 A t , t ≥ 0 ，其中： A 为常数； (6) f(t)=

   {0,t<0At,t≥0" role="presentation">{0,At,t<0t≥0$$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ At,& t\ge 0\end{array}$$
   ，其中：A为常数；\tag{6} f(t)={0,At,​t<0t≥0​，其中：A为常数；(6)
   斜坡函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)={\int }_0^{\infty }At{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

5. 正弦函数
   f ( t ) = { 0 , t < 0 A sin ⁡ ω t , t ≥ 0 ，其中： A 和 ω 为常数； (8) f(t)=

   {0,t<0Asin⁡ωt,t≥0" role="presentation">{0,Asinωt,t<0t≥0$$\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ A\sin \omega t,& t\ge 0\end{array}$$
   ，其中：A和\omega为常数；\tag{8} f(t)={0,Asinωt,​t<0t≥0​，其中：A和ω为常数；(8)
   正弦函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)=\frac{A}{2\mathrm{j}}{\int }_0^{\infty }({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A\omega }{s^2+{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$
   余弦函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)=L[A\cos \omega t]=\frac{As}{s^2+{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$

6. 平移函数

   设函数为$f(t)$，当$t<0$时， $f(t)=0$；平移函数为$f(t-\alpha )1(t-\alpha )$，其中：$\alpha \ge 0$且$t<\alpha$时，$f(t-\alpha )1(t-\alpha )=0$，则平移函数的拉普拉斯变换为：
   $$L[f(t-\alpha )1(t-\alpha )]={\int }_0^{\infty }f(t-\alpha )1(t-\alpha ){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-\alpha s}F(s),\alpha \ge 0\text{\hspace{1em}(11)}$$

7. 脉动函数
   f ( t ) = { A t 0 ， 0 < t < t 0 0 , t < 0 , t 0 < t ，其中： A 和 t 0 为常数； (12) f(t)=

   {At0，0<t<t00,t<0,t0<t" role="presentation">⎧⎩⎨At0，0,0<t<t0t<0,t0<t$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{A}{t_0}，}& 0<t<t_0\\ 0,& t<0,t_0<t\end{array}$$
   ，其中：A和t_0为常数；\tag{12} f(t)=⎩ ⎨ ⎧​t0​A​，0,​0<t<t0​t<0,t0​<t​，其中：A和t0​为常数；(12)
   脉动函数拉普拉斯变换为：
   $$F(s)=L\left[\frac{A}{t_0}1(t)\right]-L\left[\frac{A}{t_0}1(t-t_0)\right]=\frac{A}{t_{0}s}(1-{\mathrm{e}}^{-s{t}_0})\text{\hspace{1em}(13)}$$

8. 脉冲函数
   g ( t ) = { lim ⁡ t 0 → 0 A t 0 ， 0 < t < t 0 0 , t < 0 ， t 0 < t (14) g(t)=

   {limt0→0At0，0<t<t00,t<0，t0<t" role="presentation">⎧⎩⎨limt0→0At0，0,0<t<t0t<0，t0<t$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \underset{t_0\to 0}{lim}\frac{A}{t_0}，}& 0<t<t_0\\ 0,& t<0，t_0<t\end{array}$$
   \tag{14} g(t)=⎩ ⎨ ⎧​t0​→0lim​t0​A​，0,​0<t<t0​t<0，t0​<t​(14)
   脉冲函数拉普拉斯变换为：
   $$L[g(t)]=\underset{t_0\to 0}{\lim }\frac{As}{s}=A\text{\hspace{1em}(15)}$$

9. $f(t)$与${\mathrm{e}}^{-\alpha t}$相乘
   $$L[{\mathrm{e}}^{-\alpha t}f(t)]=F(s+\alpha )\text{\hspace{1em}(16)}$$

   $$L[{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\sin \omega t]=F(s+\alpha )=\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(17)}$$

   $$L[{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\cos \omega t]=G(s+\alpha )=\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}\text{\hspace{1em}(18)}$$

10. 时间比例尺

    设函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，改变时间比例尺的函数为$f(t/\alpha )$，其中$\alpha$为正常数，则$f(t/\alpha )$的拉普拉斯变换为：
    $$L[f(t/\alpha )]=\alpha F(\alpha s)\text{\hspace{1em}(19)}$$

1.2 常用函数的拉普拉斯变换

1.3 拉普拉斯变换定理

1. 实微分定理

   设$F(s)=L[f(t)]$，则应用分部积分求拉普拉斯变换积分，有：
   $$L\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right]=sF(s)-f(0)\text{\hspace{1em}(20)}$$
   同理：
   $$L\left[\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}f(t)\right]=s^{2}F(s)-sf(0)-\dot{f}(0)\text{\hspace{1em}(21)}$$

   $$L\left[\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{t}^n}f(t)\right]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}\dot{f}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\text{\hspace{1em}(22)}$$

2. 终值定理

   如果函数$f(t)$和$\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t$是拉普拉斯变换的，象函数$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，且极限$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$存在，则有：
   $$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)\text{\hspace{1em}(23)}$$
   注意：当且仅当$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$存在，才能应用终值定理，即当$t\to \infty$时，$f(t)$将稳定到确定值；如果$sF(s)$的所有极点均位于左半$s$平面，则$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$存在；如果$sF(s)$有极点位于虚轴或位于右半$s$平面，$f(t)$将分别包含振荡的或按指数规律增长的时间函数分量，因而$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$将不存在；如果$f(t)$是正弦函数$\sin \omega t$，则$sF(s)$将有位于虚轴上的极点$s=\pm \mathrm{j}\omega$，因此$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$不存在，终值定理不适用此类函数；

3. 初值定理

   如果函数$f(t)$和$\mathrm{d}f(t)/\mathrm{d}t$均可拉普拉斯变换，且$\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$存在，则有：
   $$f(0_{+})=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)\text{\hspace{1em}(24)}$$
   应用初值定理时，对$sF(s)$的极点位置没有限制；

4. 复微分定理

   若函数$f(t)$可拉普拉斯变换，则除了在$F(s)$的极点外，有：
   $$L[tf(t)]=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s)\text{\hspace{1em}(25)}$$

   $$L[t^{n}f(t)]=(-1{)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{s}^n}F(s),n=1,2,3,\dots ,\text{\hspace{1em}(26)}$$

5. 卷积定理

   考虑卷积函数：
   $$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_0^t{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(27)}$$

   $$F_1(s)=L[f_1(t)]={\int }_0^{\infty }{f}_1(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t，F_2(s)=L[f_2(t)]={\int }_0^{\infty }{f}_2(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(28)}$$

$$L[f_1(t)\ast f_2(t)]=L[f_1(t)]L[f_2(t)]=F_1(s)F_2(s)\text{\hspace{1em}(29)}$$

1.4 拉普拉斯变换基本性质

1.5 拉普拉斯反变换

一般，象函数$F(s)$是复变量$s$的有理代数分式，可以表示为：
$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}\text{\hspace{1em}(30)}$$
其中：系数$a_1,a_2,\dots ,a_n$和$b_0,b_1,b_2,\dots ,b_m$都是实常数；$m$和$n$为正整数，通常$m<n$；

把$F(s)$展成部分分式，对$A(s)$进行因式分解：
$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{(s-s_1)(s-s_2)\dots (s-s_n)}\text{\hspace{1em}(31)}$$
其中：$s_i(i=1,2,\dots ,n)$称为$F(s)$的极点；

1. $F(s)$无重极点
   $$F(s)=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-s_i}\text{\hspace{1em}(32)}$$
   其中：$c_i$为待定常数，称为$F(s)$在极点$s_i$处的留数，计算方式：
   $$c_i=\underset{s\to s_i}{\lim }(s-s_i)F(s)\text{\hspace{1em}(33)}$$
   求得：
   $$f(t)=L^{-1}[F(s)]=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathrm{e}}^{s_{i}t}\text{\hspace{1em}(34)}$$
   即：有理代数分式函数的拉普拉斯反变换，可表示为若干指数项之和；

2. $F(s)$有多重极点

   设$A(s)=0$有$r$个重根$s_1$，则$F(s)$可写为：
   F ( s ) = B ( s ) ( s − s 1 ) r ( s − s r + 1 ) … ( s − s n ) = c r ( s − s 1 ) r + c r − 1 ( s − s 1 ) r − 1 + ⋯ + c 1 s − s 1 + c r + 1 s − s r + 1 + ⋯ + c n s − s n (35)

   F(s)=B(s)(s−s1)r(s−sr+1)…(s−sn)=cr(s−s1)r+cr−1(s−s1)r−1+⋯+c1s−s1+cr+1s−sr+1+⋯+cns−sn" role="presentation">F(s)=B(s)(s−s1)r(s−sr+1)…(s−sn)=cr(s−s1)r+cr−1(s−s1)r−1+⋯+c1s−s1+cr+1s−sr+1+⋯+cns−sn$$\begin{array}{rl}F(s)& =\frac{B(s)}{(s-s_1{)}^r(s-s_{r+1})\dots (s-s_n)}\\ & =\frac{c_r}{(s-s_1{)}^r}+\frac{c_{r-1}}{(s-s_1{)}^{r-1}}+\cdots +\frac{c_1}{s-s_1}+\frac{c_{r+1}}{s-s_{r+1}}+\cdots +\frac{c_n}{s-s_n}\end{array}$$
   \tag{35} F(s)​=(s−s1​)r(s−sr+1​)…(s−sn​)B(s)​=(s−s1​)rcr​​+(s−s1​)r−1cr−1​​+⋯+s−s1​c1​​+s−sr+1​cr+1​​+⋯+s−sn​cn​​​(35)
   其中：待定常数$c_{r+1},\dots ,c_n$按$F(s)$无重极点时留数计算；
   $$c_i=\underset{s\to s_i}{\lim }(s-s_i)F(s);i=r+1,r+2,\dots ,n\text{\hspace{1em}(36)}$$
   重极点对应的待定常数$c_r,c_{r-1},\dots ,c_1$，按照下式确定：
   { c r = lim ⁡ s → s 1 ( s − s 1 ) r F ( s ) c r − 1 = lim ⁡ s → s 1 d d s [ ( s − s 1 ) r F ( s ) ] ⋮ c r − j = 1 j ! lim ⁡ s → s 1 d ( j ) d s j [ ( s − s 1 ) r F ( s ) ] ⋮ c 1 = 1 ( r − 1 ) ! lim ⁡ s → s 1 d ( r − 1 ) d s r − 1 [ ( s − s 1 ) r F ( s ) ] (37)
   {cr=lims→s1(s−s1)rF(s)cr−1=lims→s1dds[(s−s1)rF(s)]⋮cr−j=1j!lims→s1d(j)dsj[(s−s1)rF(s)]⋮c1=1(r−1)!lims→s1d(r−1)dsr−1[(s−s1)rF(s)]" role="presentation">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cr=lims→s1(s−s1)rF(s)cr−1=lims→s1dds[(s−s1)rF(s)]⋮cr−j=1j!lims→s1d(j)dsj[(s−s1)rF(s)]⋮c1=1(r−1)!lims→s1d(r−1)dsr−1[(s−s1)rF(s)]$$\{\begin{array}{ll}& c_r={\displaystyle \underset{s\to s_1}{lim}(s-s_1{)}^{r}F(s)}\\ & c_{r-1}={\displaystyle \underset{s\to s_1}{lim}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]}\\ & ⋮\\ & c_{r-j}={\displaystyle \frac{1}{j!}\underset{s\to s_1}{lim}\frac{{\mathrm{d}}^{(j)}}{\mathrm{d}{s}^j}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]}\\ & ⋮\\ & c_1={\displaystyle \frac{1}{(r-1)!}\underset{s\to s_1}{lim}\frac{{\mathrm{d}}^{(r-1)}}{\mathrm{d}{s}^{r-1}}[(s-s_1{)}^{r}F(s)]}\end{array}$$
   \tag{37} ⎩ ⎨ ⎧​​cr​=s→s1​lim​(s−s1​)rF(s)cr−1​=s→s1​lim​dsd​[(s−s1​)rF(s)]⋮cr−j​=j!1​s→s1​lim​dsjd(j)​[(s−s1​)rF(s)]⋮c1​=(r−1)!1​s→s1​lim​dsr−1d(r−1)​[(s−s1​)rF(s)]​(37)
   原函数为：
   $$f(t)=L^{-1}[F(s)]=[\frac{c_r}{(r-1)!}{t}^{r-1}+\frac{c_{r-1}}{(r-2)!}{t}^{r-2}+\cdots +c_{2}t+c_1]{\mathrm{e}}^{s_{1}t}+\sum _{i=r+1}^n{c}_i{\mathrm{e}}^{s_{i}t}\text{\hspace{1em}(38)}$$