像素间的关系

像素间的关系

Neighbors of a Pixel 相邻像素

像素（pixel）$p$的坐标为$(x,y)$

$N_4(p)$称为$p$的4-邻域，是由$p$的上下左右四个像素构成的集合。
$N_D(p)$称为$p$的对角邻域，是由$p$的对角线四个像素构成的集合。
$N_8(p)$称为$p$的8-邻域，$N_8(p)=N_4(p)\cup N_D(p)$

如果集合包含$p$，则称开邻域，反之，闭邻域。

Adjacency, Connectivity, Regions, and Boundaries 邻接性、连通性、区域和边界

像素邻接

$V$为用于定义邻接性的灰度值集合。
在灰度图像中，$V$可以是所有灰度值的任意子集。
在二值图像中， V = { 0 } V=\{0\} V={0} 或 V = { 1 } V=\{1\} V={1}

像素$p,q$的关系是4-邻接：像素$p,q$的灰度值属于$V$，且$q\in N_4(p)$
像素$p,q$的关系是8-邻接：像素$p,q$的灰度值属于$V$，且$q\in N_8(p)$

像素$p,q$的关系是m-邻接，也称混合邻接：像素$p,q$的灰度值属于$V$，且满足下列条件中的一个
1、 $q\in N_4(p)$
2、 $q\in N_D(p)$，且$f(z)\notin V,z\in N_4(p)\cap N_4(q)$
其中，$f(z)$表示像素$z$的灰度值

m-邻接是8-邻接的改进，8-邻接的定义导致每个元素同时和多个元素是8-邻接关系，采用m-邻接的定义后每个元素只和一个元素是m-邻接关系

通路

像素$p_1\to p_2...\to p_n$间分别是8-邻接关系，则像素$p_1$到像素$p_n$间的通路为8-通路。同理，可定义4-通路，m-通路。
如果$p_1=p_n$，则称通路是闭合的。

连通

$S$为图像的一个像素子集，$p,q\in S$，如果通路$p\to q$上的元素都在$S$中，则称像素$p,q$在$S$中是连通的。

$p\in S$，属于$S$且与$p$相连通的元素所构成的集合，称为$S$的连通分量。
如果$S$仅有一个连通分量，则称$S$为连通集，则称$S$为一个区域。

https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/connect.htm

区域邻接

区域$R_i,R_j$，如果$R_i\cup R_j$是一个连通集，则称$R_i$和$R_j$为邻接区域。

区域邻接关系有4-邻接、8-邻接。

背景、前景

如果图像包含$K$个不邻接区域$R_i$，且都不接触边界，则$R_1\cup R_2\cup ...\cup R_K$称为图像的前景，其补集称为图像的背景。
注：集合$A$的补集是不在$A$中的点的集合。

边界

区域$R$的边界是$R$中与$R^C$的像素相邻的一组像素。

区域的边界也成为区域的内边界，区域外边界在背景中。

区域为整幅图像时，边界为第一行、第一列、最后一行、最后一列的像素集合。

二值图像中，边缘与边界通常对应；灰度图像中，两者不完全等价，但有很大相关性。