• 经纬高坐标转东北天坐标

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    1 问题描述

    已知A、B两点的经度( λ \lambda λ)、纬度( ϕ \phi ϕ)和高度( h h h)分别为 ( λ 1 , ϕ 1 , h 1 ) (\lambda_1,\phi_1,h_1) (λ1​,ϕ1​,h1​)和 ( λ 2 , ϕ 2 , h 2 ) (\lambda_2,\phi_2,h_2) (λ2​,ϕ2​,h2​)，以A点为东北天坐标系的原点，求B点在该坐标系下的坐标值。

    2 解决方案

    2.1 经纬高转ECEF

    在这里插入图片描述

    图1 经度和纬度示意图

     

    已知某点的经纬高坐标 ( λ , ϕ , h ) (\lambda, \phi, h) (λ,ϕ,h)，通过公式(1)-(3)转换成ECEF坐标 ( X , Y , Z ) (X,Y,Z) (X,Y,Z)：
    X = ( N + h ) c o s ϕ c o s λ (1) X = (N + h) cos \phi cos \lambda \tag{1} X=(N+h)cosϕcosλ(1)
    Y = ( N + h ) c o s ϕ s i n λ (2) Y = (N + h) cos \phi sin\lambda \tag{2} Y=(N+h)cosϕsinλ(2)
    Z = [ N ( 1 − e 2 ) + h ] s i n ϕ (3) Z = [N(1-e^2) + h]sin\phi \tag{3} Z=[N(1−e2)+h]sinϕ(3)
    其中 e e e为椭圆偏心率， N N N是基准椭球体的卯酉曲率半径，这两个值可通过公式(4)-(5)来计算，
    e 2 = a 2 − b 2 a 2 (4) e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} \tag{4} e2=a2a2−b2​(4)
    N = a 1 − e 2 s i n 2 ϕ (5) N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2 \phi}} \tag{5} N=1−e2sin2ϕ ​a​(5)
    其中 a a a为基准椭球体的长半径， b b b为基准椭球体的短半径。

    2.2 ECEF转东北天

    已知 A A A点的ECEF坐标为 ( X 1 , Y 1 , Z 1 ) (X_1,Y_1,Z_1) (X1​,Y1​,Z1​)，A点的经度为 λ 1 \lambda_1 λ1​，A点的纬度为 ϕ 1 \phi_1 ϕ1​；B点的 E C E F ECEF ECEF坐标为 ( X 2 , Y 2 , Z 2 ) (X_2,Y_2,Z_2) (X2​,Y2​,Z2​)；以A点为东北天坐标系的原点，求B点在该坐标系下的坐标。

    通过公式(6)-(8)求得A点 ( e 1 , n 1 , u 1 ) (e_1,n_1,u_1) (e1​,n1​,u1​)和B点 ( e 2 , n 2 , u 2 ) (e_2,n_2,u_2) (e2​,n2​,u2​)的坐标差值，
    e 2 − e 1 = − s i n λ 1 ⋅ ( X 2 − X 1 ) + c o s λ 1 ⋅ ( Y 2 − Y 1 ) (6) e_2-e_1=-sin\lambda_1 \cdot (X_2-X_1) + cos\lambda_1 \cdot (Y_2-Y_1) \tag{6} e2​−e1​=−sinλ1​⋅(X2​−X1​)+cosλ1​⋅(Y2​−Y1​)(6)
    n 2 − n 1 = − s i n ϕ 1 ⋅ c o s λ 1 ⋅ ( X 2 − X 1 ) − s i n ϕ 1 ⋅ s i n λ 1 ⋅ ( Y 2 − Y 1 ) + c o s ϕ 1 ⋅ ( Z 2 − Z 1 ) (7) n_2-n_1 = -sin\phi_1 \cdot cos\lambda_1 \cdot (X_2-X_1) - sin\phi_1 \cdot sin\lambda_1 \cdot (Y_2-Y_1) + cos\phi_1 \cdot (Z_2-Z_1) \tag{7} n2​−n1​=−sinϕ1​⋅cosλ1​⋅(X2​−X1​)−sinϕ1​⋅sinλ1​⋅(Y2​−Y1​)+cosϕ1​⋅(Z2​−Z1​)(7)
    u 2 − u 1 = c o s ϕ 1 ⋅ c o s λ 1 ⋅ ( X 2 − X 1 ) + c o s ϕ 1 ⋅ s i n λ 1 ⋅ ( Y 2 − Y 1 ) + s i n ϕ 1 ⋅ ( Z 2 − Z 1 ) (8) u_2-u_1 = cos\phi_1 \cdot cos\lambda_1 \cdot (X_2 - X_1) + cos\phi_1 \cdot sin\lambda_1 \cdot (Y_2-Y_1) + sin\phi_1 \cdot (Z_2 - Z_1) \tag{8} u2​−u1​=cosϕ1​⋅cosλ1​⋅(X2​−X1​)+cosϕ1​⋅sinλ1​⋅(Y2​−Y1​)+sinϕ1​⋅(Z2​−Z1​)(8)
    已知A点为原点，即 e 1 = 0 e_1 = 0 e1​=0、 n 1 = 0 n_1=0 n1​=0和 u 1 = 0 u_1=0 u1​=0，则可求得 e 2 e_2 e2​、 n 2 n_2 n2​和 u 2 u_2 u2​的值。

    2.3 代入求解

    2.3.1 东向化简

    代入 X 2 − X 1 X_2-X_1 X2​−X1​的值和 Y 2 − Y 1 Y_2-Y_1 Y2​−Y1​的值，公式(6)可写成，
    e 2 − e 1 = − s i n λ 1 ⋅ [ ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 c o s λ 2 − ( N + h 1 ) c o s ϕ 1 c o s λ 1 ] + c o s λ 1 ⋅ [ ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n λ 2 − ( N + h 1 ) c o s ϕ 1 s i n λ 1 ] = ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 ( s i n λ 2 s i n λ 1 − c o s λ 2 s i n λ 1 ) = ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n ( λ 2 − λ 1 ) (9) e2−e1=−sinλ1⋅[(N+h2)cosϕ2cosλ2−(N+h1)cosϕ1cosλ1]+cosλ1⋅[(N+h2)cosϕ2sinλ2−(N+h1)cosϕ1sinλ1]=(N+h2)cosϕ2(sinλ2sinλ1−cosλ2sinλ1)=(N+h2)cosϕ2sin(λ2−λ1)

    \tag{9} e2​−e1​​=−sinλ1​⋅[(N+h2​)cosϕ2​cosλ2​−(N+h1​)cosϕ1​cosλ1​]+cosλ1​⋅[(N+h2​)cosϕ2​sinλ2​−(N+h1​)cosϕ1​sinλ1​]=(N+h2​)cosϕ2​(sinλ2​sinλ1​−cosλ2​sinλ1​)=(N+h2​)cosϕ2​sin(λ2​−λ1​)​(9)
    由于点A和点B相隔较近，故经度差 λ 2 − λ 1 \lambda_2-\lambda_1 λ2​−λ1​是一个极小量，有 s i n ( λ 2 − λ 1 ) ≈ ( λ 2 − λ 1 ) sin(\lambda_2-\lambda_1) \approx (\lambda_2 - \lambda_1) sin(λ2​−λ1​)≈(λ2​−λ1​)。那么 e 2 − e 1 e_2-e_1 e2​−e1​可写成，
    e 2 − e 1 = ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 ⋅ ( λ 2 − λ 1 ) (10) e_2-e_1 = (N+h_2)cos\phi_2 \cdot (\lambda_2- \lambda_1) \tag{10} e2​−e1​=(N+h2​)cosϕ2​⋅(λ2​−λ1​)(10)

    2.3.2 北向化简

    代入 X 2 − X 1 X_2-X_1 X2​−X1​、 Y 2 − Y 1 Y_2-Y_1 Y2​−Y1​和 Z 2 − Z 1 Z_2-Z_1 Z2​−Z1​的值，公式(7)可写成，
    n 2 − n 1 = − ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n ϕ 1 ( c o s λ 2 c o s λ 1 + s i n λ 2 s i n λ 1 ) + ( N + h 1 ) s i n ϕ 1 c o s ϕ 1 ( c o s 2 λ 1 + s i n 2 λ 1 ) + c o s ϕ 1 [ [ N ( 1 − e 2 ) + h 2 ] s i n ϕ 2 − [ N ( 1 − e 2 ) + h 1 ] s i n ϕ 1 ] (11) n2−n1=−(N+h2)cosϕ2sinϕ1(cosλ2cosλ1+sinλ2sinλ1)+(N+h1)sinϕ1cosϕ1(cos2λ1+sin2λ1)+cosϕ1[[N(1−e2)+h2]sinϕ2−[N(1−e2)+h1]sinϕ1]

    \tag{11} n2​−n1​=​−(N+h2​)cosϕ2​sinϕ1​(cosλ2​cosλ1​+sinλ2​sinλ1​)+(N+h1​)sinϕ1​cosϕ1​(cos2λ1​+sin2λ1​)+cosϕ1​[[N(1−e2)+h2​]sinϕ2​−[N(1−e2)+h1​]sinϕ1​]​(11)
    将地球近似处理成标准球体，即 e = 0 e=0 e=0，
    c o s ϕ 1 [ [ N ( 1 − e 2 ) + h 2 ] s i n ϕ 2 − [ N ( 1 − e 2 ) + h 1 ] s i n ϕ 1 ] (12) cos\phi_1\Big[[N(1-e^2)+h_2]sin\phi_2-[N(1-e^2)+h_1]sin\phi_1\Big] \tag{12} cosϕ1​[[N(1−e2)+h2​]sinϕ2​−[N(1−e2)+h1​]sinϕ1​](12)
    可以化简为，
    ( N + h 2 ) s i n ϕ 2 c o s ϕ 1 − ( N + h 1 ) s i n ϕ 1 c o s ϕ 1 (13) (N+h_2)sin\phi_2cos\phi_1-(N+h_1)sin\phi_1cos\phi_1 \tag{13} (N+h2​)sinϕ2​cosϕ1​−(N+h1​)sinϕ1​cosϕ1​(13)
    将式子(13)代入到公式(11)中，有，
    n 2 − n 1 = − ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n ϕ 1 c o s ( λ 2 − λ 1 ) + ( N + h 1 ) s i n ϕ 1 c o s ϕ 1 + ( N + h 2 ) s i n ϕ 2 c o s ϕ 1 − ( N + h 1 ) s i n ϕ 1 c o s ϕ 1 (14) n2−n1=−(N+h2)cosϕ2sinϕ1cos(λ2−λ1)+(N+h1)sinϕ1cosϕ1+(N+h2)sinϕ2cosϕ1−(N+h1)sinϕ1cosϕ1
    \tag{14}     n2​−n1​=​−(N+h2​)cosϕ2​sinϕ1​cos(λ2​−λ1​)+(N+h1​)sinϕ1​cosϕ1​+(N+h2​)sinϕ2​cosϕ1​−(N+h1​)sinϕ1​cosϕ1​​(14)
    进一步化简，可得，
    n 2 − n 1 = − ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n ϕ 1 c o s ( λ 2 − λ 1 ) + ( N + h 2 ) s i n ϕ 2 c o s ϕ 1 (15) n2−n1=−(N+h2)cosϕ2sinϕ1cos(λ2−λ1)+(N+h2)sinϕ2cosϕ1
    \tag{15}     n2​−n1​=​−(N+h2​)cosϕ2​sinϕ1​cos(λ2​−λ1​)+(N+h2​)sinϕ2​cosϕ1​​(15)
    由于A点和B点离得很近，经度差 λ 2 − λ 1 \lambda_2-\lambda_1 λ2​−λ1​是极小量，故有 c o s ( λ 2 − λ 1 ) ≈ 1 cos(\lambda_2-\lambda_1)\approx1 cos(λ2​−λ1​)≈1。那么 n 2 − n 1 n_2-n_1 n2​−n1​可以进一步化简为，
    n 2 − n 1 = − ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 s i n ϕ 1 + ( N + h 2 ) s i n ϕ 2 c o s ϕ 1 = ( N + h 2 ) ( s i n ϕ 2 c o s ϕ 1 − c o s ϕ 2 s i n ϕ 1 ) = ( N + h 2 ) s i n ( ϕ 2 − ϕ 1 ) (16) n2−n1=−(N+h2)cosϕ2sinϕ1+(N+h2)sinϕ2cosϕ1=(N+h2)(sinϕ2cosϕ1−cosϕ2sinϕ1)=(N+h2)sin(ϕ2−ϕ1)
    \tag{16}     n2​−n1​​=−(N+h2​)cosϕ2​sinϕ1​+(N+h2​)sinϕ2​cosϕ1​=(N+h2​)(sinϕ2​cosϕ1​−cosϕ2​sinϕ1​)=(N+h2​)sin(ϕ2​−ϕ1​)​(16)
    由于A点和B点离得很近，纬度差 ϕ 2 − ϕ 1 \phi_2-\phi_1 ϕ2​−ϕ1​是极小量，故有 s i n ( ϕ 2 − ϕ 1 ) ≈ ϕ 2 − ϕ 1 sin(\phi_2-\phi_1)\approx \phi_2-\phi_1 sin(ϕ2​−ϕ1​)≈ϕ2​−ϕ1​。那么 n 2 − n 1 n_2-n_1 n2​−n1​可以进一步化简为，
    n 2 − n 1 = ( N + h 2 ) ( ϕ 2 − ϕ 1 ) (17) n_2-n_1=(N+h_2)(\phi_2-\phi_1) \tag{17} n2​−n1​=(N+h2​)(ϕ2​−ϕ1​)(17)

    2.3.3 天向化简

    将 X 2 − X 1 X_2-X_1 X2​−X1​、 Y 2 − Y 1 Y_2-Y_1 Y2​−Y1​和 Z 2 − Z 1 Z_2-Z_1 Z2​−Z1​代入公式(8)，有，
    u 2 − u 1 = ( N + h 2 ) c o s ϕ 1 c o s λ 1 c o s ϕ 2 c o s λ 2 − ( N + h 1 ) c o s 2 ϕ 1 c o s 2 λ 1 + ( N + h 2 ) c o s ϕ 1 s i n λ 1 c o s ϕ 2 s i n λ 2 − ( N + h 1 ) c o s 2 ϕ 1 s i n 2 λ 1 + s i n ϕ 1 [ [ N ( 1 − e 2 ) + h 2 ] s i n ϕ 2 − [ N ( 1 − e 2 ) + h 1 ] s i n ϕ 1 ] (18) u2−u1=(N+h2)cosϕ1cosλ1cosϕ2cosλ2−(N+h1)cos2ϕ1cos2λ1+(N+h2)cosϕ1sinλ1cosϕ2sinλ2−(N+h1)cos2ϕ1sin2λ1+sinϕ1[[N(1−e2)+h2]sinϕ2−[N(1−e2)+h1]sinϕ1]

    \tag{18} u2​−u1​=++​(N+h2​)cosϕ1​cosλ1​cosϕ2​cosλ2​−(N+h1​)cos2ϕ1​cos2λ1​(N+h2​)cosϕ1​sinλ1​cosϕ2​sinλ2​−(N+h1​)cos2ϕ1​sin2λ1​sinϕ1​[[N(1−e2)+h2​]sinϕ2​−[N(1−e2)+h1​]sinϕ1​]​(18)
    将地球近似成标准球体，有 e = 0 e=0 e=0，则
    s i n ϕ 1 [ [ N ( 1 − e 2 ) + h 2 ] s i n ϕ 2 − [ N ( 1 − e 2 ) + h 1 ] s i n ϕ 1 ] (19) sin\phi_1\Big[ [N(1-e^2)+h_2]sin\phi_2 - [N(1-e^2)+h_1]sin\phi_1 \Big] \tag{19} sinϕ1​[[N(1−e2)+h2​]sinϕ2​−[N(1−e2)+h1​]sinϕ1​](19)
    可化简为，
    ( N + h 2 ) s i n ϕ 2 s i n ϕ 1 − ( N + h 1 ) s i n 2 ϕ 1 (20) (N+h_2)sin\phi_2sin\phi_1-(N+h_1)sin^2\phi_1 \tag{20} (N+h2​)sinϕ2​sinϕ1​−(N+h1​)sin2ϕ1​(20)
    因此， u 2 − u 1 u_2-u_1 u2​−u1​可以进一步化简为，
    u 2 − u 1 = ( N + h 2 ) [ c o s ϕ 1 c o s ϕ 2 ( c o s λ 1 c o s λ 2 + s i n λ 1 s i n λ 2 ) + s i n ϕ 2 s i n ϕ 1 ] − ( N + h 1 ) [ c o s 2 ϕ 1 ( c o s 2 λ 1 + s i n 2 λ 2 ) + s i n 2 ϕ 1 ] (21) u2−u1=(N+h2)[cosϕ1cosϕ2(cosλ1cosλ2+sinλ1sinλ2)+sinϕ2sinϕ1]−(N+h1)[cos2ϕ1(cos2λ1+sin2λ2)+sin2ϕ1]
    \tag{21}     u2​−u1​=−​(N+h2​)[cosϕ1​cosϕ2​(cosλ1​cosλ2​+sinλ1​sinλ2​)+sinϕ2​sinϕ1​](N+h1​)[cos2ϕ1​(cos2λ1​+sin2λ2​)+sin2ϕ1​]​(21)
    继续化简，可得，
    u 2 − u 1 = ( N + h 2 ) [ c o s ϕ 1 c o s ϕ 2 c o s ( λ 2 − λ 1 ) + s i n ϕ 2 s i n ϕ 1 ] − ( N + h 1 ) (22) u2−u1=(N+h2)[cosϕ1cosϕ2cos(λ2−λ1)+sinϕ2sinϕ1]−(N+h1)
    \tag{22}     u2​−u1​=−​(N+h2​)[cosϕ1​cosϕ2​cos(λ2​−λ1​)+sinϕ2​sinϕ1​](N+h1​)​(22)
    由于A点和B点距离很近，因此经度差 λ 2 − λ 1 \lambda_2-\lambda_1 λ2​−λ1​是一个极小量，有 c o s ( λ 2 − λ 1 ) ≈ 1 cos(\lambda_2-\lambda_1)\approx1 cos(λ2​−λ1​)≈1，故 u 2 − u 1 u_2-u_1 u2​−u1​可以化简为，
    u 2 − u 1 = ( N + h 2 ) ( c o s ϕ 1 c o s ϕ 2 + s i n ϕ 2 s i n ϕ 1 ) − ( N + h 1 ) = ( N + h 2 ) c o s ( ϕ 2 − ϕ 1 ) − ( N + h 1 ) (23) u2−u1=(N+h2)(cosϕ1cosϕ2+sinϕ2sinϕ1)−(N+h1)=(N+h2)cos(ϕ2−ϕ1)−(N+h1)
    \tag{23}     u2​−u1​==​(N+h2​)(cosϕ1​cosϕ2​+sinϕ2​sinϕ1​)−(N+h1​)(N+h2​)cos(ϕ2​−ϕ1​)−(N+h1​)​(23)
    由于A点和B点距离很近，因此纬度差 ϕ 2 − ϕ 1 \phi_2-\phi_1 ϕ2​−ϕ1​是一个极小量，有 c o s ( ϕ 2 − ϕ 1 ) ≈ 1 cos(\phi_2-\phi_1)\approx1 cos(ϕ2​−ϕ1​)≈1，故 u 2 − u 1 u_2-u_1 u2​−u1​可以继续化简为，
    u 2 − u 1 = ( N + h 2 ) − ( N + h 1 ) = h 2 − h 1 (24) u_2-u_1=(N+h_2)-(N+h_1)=h_2-h_1 \tag{24} u2​−u1​=(N+h2​)−(N+h1​)=h2​−h1​(24)

    2.4 总结

    由2.3小节可知，在如下前提条件下，

    1. A点和B点的经度差 λ 2 − λ 1 \lambda_2-\lambda_1 λ2​−λ1​是一个极小值，则有 s i n ( λ 2 − λ 1 ) ≈ ( λ 2 − λ 1 ) sin(\lambda_2-\lambda_1)\approx(\lambda_2-\lambda_1) sin(λ2​−λ1​)≈(λ2​−λ1​)和 c o s ( λ 2 − λ 1 ) ≈ 1 cos(\lambda_2-\lambda_1)\approx1 cos(λ2​−λ1​)≈1。
    2. A点和B点的纬度差 ϕ 2 − ϕ 1 \phi_2-\phi_1 ϕ2​−ϕ1​是一个极小值，则有 s i n ( ϕ 2 − ϕ 1 ) ≈ ( ϕ 2 − ϕ 1 ) sin(\phi_2-\phi_1)\approx(\phi_2-\phi_1) sin(ϕ2​−ϕ1​)≈(ϕ2​−ϕ1​)和 c o s ( ϕ 2 − ϕ 1 ) ≈ 1 cos(\phi_2-\phi_1)\approx1 cos(ϕ2​−ϕ1​)≈1。
    3. 地球近似为标准球体，则有 e = 0 e=0 e=0。

    可以得到如下解，
    e 2 − e 1 = ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 ⋅ ( λ 2 − λ 1 ) n 2 − n 1 = ( N + h 2 ) ( ϕ 2 − ϕ 1 ) u 2 − u 1 = h 2 − h 1 (25) e2−e1=(N+h2)cosϕ2⋅(λ2−λ1)n2−n1=(N+h2)(ϕ2−ϕ1)u2−u1=h2−h1

    \tag{25} e2​−e1​n2​−n1​u2​−u1​​=(N+h2​)cosϕ2​⋅(λ2​−λ1​)=(N+h2​)(ϕ2​−ϕ1​)=h2​−h1​​(25)

    更形象的理解，依据公式，
    l = R ⋅ θ (26) l = R \cdot \theta \tag{26} l=R⋅θ(26)
    其中 R R R为圆的半径， θ \theta θ为角度， l l l为该角度对应的弧长。

    将地球近似为标准球体，那么东向弧长 e 2 − e 1 e_2-e_1 e2​−e1​等于半径 ( N + h 2 ) c o s ϕ 2 (N+h_2)cos\phi_2 (N+h2​)cosϕ2​乘以经度差值 ( λ 2 − λ 1 ) (\lambda_2-\lambda_1) (λ2​−λ1​)，北向弧长 n 2 − n 1 n_2-n_1 n2​−n1​等于半径 ( N + h 2 ) (N+h_2) (N+h2​)乘以纬度差值 ( ϕ 2 − ϕ 1 ) (\phi_2-\phi_1) (ϕ2​−ϕ1​)。

    天向差值 u 2 − u 1 u_2-u_1 u2​−u1​等于高度差 h 2 − h 1 h_2-h_1 h2​−h1​。

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