自动控制原理9.1---线性系统的状态空间描述(上)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
《自动控制原理PDF版下载》

1.线性系统的状态空间描述

1.1 系统数学描述的两种基本类型

其中：

图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，二者分别用向量 $u=[u_1,u_2,\dots,u_p]^T$ 和 $y=[y_1,y_2,\dots,y_q]^T$ 表示，均为系统的外部变量；
描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 $x=[x_1,x_2,\dots,x_n]^T$ 表示；

系统的数学描述通常有两种基本类型：

一种是系统的外部描述，即输入-输出描述；这种描述将系统看作一个"黑箱"，只是反映系统外部变量间即输入-输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量；
另一种是系统的内部描述，即状态空间描述；这种描述基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成：一个是反映系统内部变量 $x=[x_1,x_2,\dots,x_n]^T$ 和输入变量 $u=[u_1,u_2,\dots,u_p]^T$ 间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程；另一个是表征系统内部变量 $x=[x_1,x_2,\dots,x_n]^T$ 及输入变量 $u=[u_1,u_2,\dots,u_p]^T$ 和输出变量 $y=[y_1,y_2,\dots,y_q]^T$ 间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式，称为输出方程；

外部描述和内部描述比较：

外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，具有完全不同内部结构的两个系统可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常是对系统的一种不完全的描述；
内部描述是一种完全的描述，能完全表征系统的所有动力学特征；

1.2 系统状态空间描述常用的基本概念

状态和状态变量：系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态；确定系统状态的一组独立变量称为状态变量；

一个用 $n$ 阶微分方程描述的系统，当 $n$ 个初始条件 $x(t_0),\dot{x}(t_0),\dots,x^{(n-1)}(t_0)$ ，及 $t≥t_0$ 的输入 $u (t)$ 给定时，可唯一确定方程的解，即系统将来的状态，故 $x(t),\dot{x}(t),\dots,x^{(n-1)}(t)$ 这 $n$ 个独立变量可选作状态变量；

$n$ 阶系统状态变量所含独立变量的个数为 $n$ ，当变量个数小于 $n$ 时，不能完全确定 $n$ 阶系统的状态，当变量个数大于 $n$ 时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的；

状态变量常用符号 $x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)$ 表示；
状态向量：把描述系统状态的 $n$ 个状态变量 $x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)$ 看作向量 $x (t)$ 的分量，即：
$x(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)]^T$
则向量 $x (t)$ 称为 $n$ 维状态向量；给定 $t=t_0$ 时的初始状态向量 $x(t_0)$ 及 $t≥t_0$ 的输入向量 $u (t)$ ，则 $t≥t_0$ 的状态由状态向量 $x (t)$ 唯一确定；
状态空间：以 $n$ 个状态变量作为基底所组成的 $n$ 维空间称为状态空间；
状态轨线：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示，随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，这种系统状态在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线；
线性系统的状态空间表达式：若线性系统描述系统状态量与输入量之间关系的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，而描述输出量与状态量和输入量之间关系的输出方程是向量代数方程，则其组合称为线性系统状态空间表达式，亦称动态方程，其连续形式为：

${\begin{cases} \dot{x} (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) \\ y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) \end{cases}$
⎩ ⎨ ⎧x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
对于线性离散时间系统，在实践中常取 $t_k=kT$ ( $T$ 为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式为：
${\begin{cases} x (k + 1) = G (k) x (k) + H (k) u (k) \\ y (k) = C (k) x (k) + D (k) u (k) \end{cases}$
若状态 $x$ 、输入 $u$ 、输出 $y$ 的维数分别为： $n, p, q$ ，则称 $n\times{n}$ 矩阵 $A (t)$ 及 $G (k)$ 为系统矩阵或状态矩阵；
- 称 $n\times{p}$ 矩阵 $B (t)$ 及 $H (k)$ 为控制矩阵或输入矩阵；
- 称 $q\times{n}$ 矩阵 $C (t)$ 及 $C (k)$ 为观测矩阵或输出矩阵；
- 称 $q\times{p}$ 矩阵 $D (t)$ 及 $D (k)$ 为前馈矩阵或输入输出矩阵；
线性定常系统：在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 $A (t), B (t), C (t), D (t)$ 或 $G (k), H (k), C (k), D (k)$ 的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统；

线性定常系统状态空间表达式一般形式：

${\begin{cases} \dot{x} (t) = A x (t) + B u (t) \\ y (t) = C x (t) + D u (t) \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ \overset{x}{˙} (t) = A x (t) + B u (t) y (t) = C x (t) + D u (t)$
和
${\begin{cases} x (k + 1) = G x (k) + H u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) \end{cases}$
当输出方程中 $D \equiv 0$ 时，系统称为绝对固有系统，否则称为固有系统；
线性系统的结构图：

其中： $I$ 为 $n\times{n}$ 单位矩阵， $s$ 拉普拉斯算子， $z^{-1}$ 为单位延时算子， $s$ 和 $z$ 均为标量；

每一方块的输入-输出关系规定为：
$输出向量=(方块所示矩阵)\times{(输入向量)}$

1.3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立

1.3.1 根据系统机理建立状态空间表达式

实例分析：

${\rm Example1：}$ 系统电路图如下图所示，选择状态变量建立状态空间表达式。

解：

根据电路定律列写方程：
$Ri+L\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t}+\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t=e$
电路输出量为：
$y=e_c=\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t$
设状态变量 $x_1=i,x_2=\displaystyle\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t$ ，则状态方程为：

{\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = - \frac{R}{L} x_{1} - \frac{1}{L} x_{2} + \frac{1}{L} e \\ {\dot{x}}_{2} = \frac{1}{C} x_{1} \end{cases}

⎩ ⎨ ⎧ \overset{x}{˙}_{1} = - \frac{R}{L} x_{1} - \frac{1}{L} x_{2} + \frac{1}{L} e \overset{x}{˙}_{2} = \frac{1}{C} x_{1}

输出方程为：

y=x_2

向量-矩阵形式为：

\begin{aligned} [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{R}{L} & - \frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{matrix}] e \\ y = [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

简记为：

{\begin{cases} \dot{x} = A x + b e \\ y = c x \end{cases}

式中：

[\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \end{matrix}]

1.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式

系统输入量中不含导数项。

单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：
$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots+a_1\dot{y}+a_0y=\beta_0u$
其中： $y, u$ 分别为系统的输出、输入量； $a_0,a_1,\dots,a_{n-1},\beta_0$ 是由系统特性确定的常系数；

选取 $n$ 个状态变量为： $x_1=y,x_2=\dot{y},\dots,x_n=y^{(n-1)}$ ，上式化为如下形式：

${\begin{cases} {\dot{x}}_{1} & = & x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} & = & x_{3} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n - 1} & = & x_{n} \\ {\dot{x}}_{n} & = & - a_{0} x_{1} - a_{1} x_{2} - \dots - a_{n - 1} x_{n} + β_{0} u \\ y & = & x_{1} \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ \overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2} ⋮ \overset{x}{˙}_{n - 1} \overset{x}{˙}_{n} y = = = = = x_{2} x_{3} x_{n} - a_{0} x_{1} - a_{1} x_{2} - \dots - a_{n - 1} x_{n} + β_{0} u x_{1}$
向量-矩阵形式为：
${\begin{cases} \dot{x} = A x + b u \\ y = c x \end{cases}$
式中：
$\begin{aligned} x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} \\ x_{n} \end{matrix}] ， A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}] ， b = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ β_{0} \end{matrix}] \\ c = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}] \end{aligned}$

状态变量图如下图所示：
系统输入量中含有导数项。

线性定常连续系统微分方程一般形式为：

$\begin{aligned} y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + a_{n - 2} y^{(n - 2)} + \dots + a_{1} \dot{y} + a_{0} y \\ = & b_{n} u^{(n)} + b_{n - 1} u^{n - 1} + \dots + b_{1} \dot{u} + b_{0} u \end{aligned}$
\ =y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+⋯+a1y˙+a0ybnu(n)+bn−1un−1+⋯+b1u˙+b0u
1. $b_n≠0$ 情况
  
  按如下规则选择状态变量，设：
  
  ${\begin{cases} x_{1} = y - h_{0} u \\ x_{i} = {\dot{x}}_{i - 1} - h_{i - 1} u; i = 2, 3, \dots, n \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = y - h_{0} u x_{i} = \overset{x}{˙}_{i - 1} - h_{i - 1} u; i = 2, 3, \dots, n$
  展开式为：
  ${\begin{cases} x_{1} = y - h_{0} u \\ x_{2} = {\dot{x}}_{1} - h_{1} u = \dot{y} - h_{0} \dot{u} - h_{1} u \\ x_{3} = {\dot{x}}_{2} - h_{2} u = \ddot{y} - h_{0} \ddot{u} - h_{1} \dot{u} - h_{2} u \\ ⋮ \\ x_{n - 1} = {\dot{x}}_{n - 2} - h_{n - 2} u = y^{(n - 2)} - h_{0} u^{(n - 2)} - h_{1} u^{n - 3} - \dots - h_{n - 2} u \\ x_{n} = {\dot{x}}_{n - 1} - h_{n - 1} u = y^{(n - 1)} - h_{0} u^{n - 1} - h_{1} u^{n - 2} - \dots - h_{n - 1} u \end{cases}$
  式中， $h_0,h_1,h_2,\dots,h_{n-1}$ 是 $n$ 个待定常数；
  
  输出方程为：
  $y=x_1+h_0u$
  其余可得 $n - 1$ 个状态方程：
  
  ${\begin{cases} {\dot{x}}_{1} = x_{2} + h_{1} u \\ {\dot{x}}_{2} = x_{3} + h_{2} u \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n - 1} = x_{n} + h_{n - 1} u \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ \overset{x}{˙}_{1} = x_{2} + h_{1} u \overset{x}{˙}_{2} = x_{3} + h_{2} u ⋮ \overset{x}{˙}_{n - 1} = x_{n} + h_{n - 1} u$
  对 $x_n$ 求导数可得：
  $\begin{aligned} {\dot{x}}_{n} & = y^{(n)} - h_{0} u^{(n)} - h_{1} u^{(n - 1)} - \dots - h_{n - 1} \dot{u} \\ = (- a_{n - 1} y^{(n - 1)} - a_{n - 2} y^{(n - 2)} - \dots - a_{1} \dot{y} - a_{0} y + b_{0} u^{(n)} + \dots + b_{1} \dot{u} + b_{0} u) \\ - h_{0} u^{(n)} - h_{1} u^{(n - 1)} - \dots - h_{n - 1} \dot{u} \end{aligned}$
  综合整理得：
  $\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-2}x_{n-1}-a_{n-1}x_{n}+h_nu$
  向量-矩阵形式为：
  $\dot{x}=Ax+bu,y=cx+du$
  式中：
  $\begin{aligned} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}], b = [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \\ ⋮ \\ h_{n - 1} \\ h_{n} \end{matrix}] \\ c = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}], d = h_{0} \end{aligned}$
  
  状态变量图如下图所示：
2. $b_n=0$ 情况
  
  按如下规则选择一组状态变量，设：
  
  ${\begin{cases} x_{n} = y \\ x_{i} = {\dot{x}}_{i + 1} + a_{i} y - b_{i} u; i = 1, 2, \dots, n - 1 \end{cases}$ ${x_{n} = y x_{i} = \overset{x}{˙}_{i + 1} + a_{i} y - b_{i} u; i = 1, 2, \dots, n - 1$
  展开式为：
  ${\begin{cases} x_{n - 1} & = {\dot{x}}_{n} + a_{n - 1} y - b_{n - 1} u = \dot{y} + a_{n - 1} y - b_{n - 1} u \\ x_{n - 2} & = {\dot{x}}_{n - 1} + a_{n - 2} y - b_{n - 2} u = \ddot{y} + a_{n - 1} \dot{y} - b_{n - 1} \dot{u} + a_{n - 2} y - b_{n - 2} u \\ ⋮ \\ x_{2} & = {\dot{x}}_{3} + a_{2} y - b_{2} u \\ = y^{(n - 2)} + a_{n - 1} y^{(n - 3)} - b_{n - 1} u^{(n - 3)} + a_{n - 2} y^{(n - 4)} - b_{n - 2} u^{(n - 4)} + \dots + a_{2} y - b_{2} u \\ x_{1} & = {\dot{x}}_{2} + a_{1} y - b_{1} u \\ = y^{(n - 1)} + a_{n - 1} y^{(n - 2)} - b_{n - 1} u^{(n - 2)} + a_{n - 2} y^{(n - 3)} - b_{n - 2} u^{(n - 3)} + \dots + a_{1} y - b_{1} u \end{cases}$
  $b_n=0$ 时动态方程为：
  $\dot{x}=Ax+bu,y=cx$
  其中：
  $[\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - a_{n - 1} \end{matrix}]$

1.3.3 由系统传递函数建立状态空间表达式

系统传递函数为：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+\dots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0}$
应用综合除法：
$G(s)=b_n+\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+\beta_{n-2}s^{n-2}+\dots+\beta_1s+\beta_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0}\triangleq{b_n}+\frac{N(s)}{D(s)}$
其中： $b_n$ 是直接联系输入与输出量的前馈系数，当 $G (s)$ 分母次数大于分子次数时， $b_n=0$ ， $\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 是严格有理真分式，其系数由综合除法得到：

{\begin{cases} β_{0} = b_{0} - a_{0} b_{n} \\ β_{1} = b_{1} - a_{1} b_{n} \\ ⋮ \\ β_{n - 2} = b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{n} \\ β_{n - 1} = b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{n} \end{cases}

⎩ ⎨ ⎧ β_{0} = b_{0} - a_{0} b_{n} β_{1} = b_{1} - a_{1} b_{n} ⋮ β_{n - 2} = b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{n} β_{n - 1} = b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{n}

由 $\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 导出几种标准形式动态方程的方法：

$\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 串联分解情况。

其中： $z$ 为中间变量， $z, y$ 满足：

${\begin{cases} z^{(n)} + a_{n - 1} z^{(n - 1)} + \dots + a_{1} \dot{z} + a_{0} z = u \\ y = β_{n - 1} z^{(n - 1)} + \dots + β_{1} \dot{z} + β_{0} z \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ z^{(n)} + a_{n - 1} z^{(n - 1)} + \dots + a_{1} \overset{z}{˙} + a_{0} z = u y = β_{n - 1} z^{(n - 1)} + \dots + β_{1} \overset{z}{˙} + β_{0} z$
选取状态变量：
$x_1=z,x_2=\dot{z},x_3=\ddot{z},\dots,x_n=z^{(n-1)}$
则状态方程为：
${\begin{cases} {\dot{x}}_{1} & = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} & = x_{3} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} & = - a_{0} z - a_{1} \dot{z} - \dots - a_{n - 1} z^{(n - 1)} + u \\ = - a_{0} x_{1} - a_{1} x_{2} - \dots - a_{n - 1} x_{n} + u \end{cases}$
输出方程为：
$y=-\beta_0x_1-\beta_1x_2-\dots-\beta_{n-1}x_n$
向量-矩阵形式为：
$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$

$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix}]$ , b= $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ , c= $[\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & \dots & β_{n - 1} \end{matrix}]$ $A = 00 ⋮ 0 - a_{0} 10 ⋮ 0 - a_{1} 01 ⋮ 0 - a_{2} \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - a_{n - 1}, b = 00 ⋮ 01, c = [β_{0} β_{1} \dots β_{n - 1}]$

形式如上 $A$ 阵称为友矩阵，若状态方程中的 $A, b$ 具有这种形式，称为可控标准型；

当 $G(s)=b_n+\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 时， $A, b$ 不变， $y=cx+b_nu$ ；

$\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 串联分解时系统的可控标准型状态变量图如下图所示：

当 $b_n=0$ 时，选取状态变量：

${\begin{cases} x_{n} = y \\ x_{i} = {\dot{x}}_{i + 1} + a_{i} y - b_{i} u; i = 1, 2, \dots, n - 1 \end{cases}$ $⎩ ⎨ ⎧ x_{n} = y x_{i} = \overset{x}{˙}_{i + 1} + a_{i} y - b_{i} u; i = 1, 2, \dots, n - 1$
则系统的 $A, b, c$ 矩阵为：
$[\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - a_{n - 1} \end{matrix}]$
若动态方程中的 $A, c$ 具有这种形式称为可观测标准型；

可控标准型与可观测标准型的各矩阵间的关系：
$A_c=A_o^T,b_c=c_o^T,c_c=b_o^T$
其中：下标 $c$ 表示可控标准型； $o$ 表示可观测标准型； $T$ 为转置符号；

实例分析：

${\rm Example3：}$ 设二阶系统微分方程为：
$\ddot{y}+2\zeta\omega\dot{y}+\omega^2y=T\dot{u}+u$
列写系统的可控标准型、可观测标准型动态方程，确定状态变量与输入、输出量的关系。

解：

系统的传递函数为：
$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts+1}{s^2+2\zeta\omega{s}+\omega^2}$
可控标准型动态方程的各矩阵为：
$x_c=$
$[\begin{matrix} x_{c 1} \\ x_{c_{2}} \end{matrix}]$ , A_c= $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ - ω^{2} & - 2 ζ ω \end{matrix}]$ , b_c= $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$ ,c_c= $[\begin{matrix} 1 & T \end{matrix}]$ $x_{c} = [x_{c 1} x_{c_{2}}], A_{c} = [0 - ω^{2} 1 - 2 ζ ω], b_{c} = [01], c_{c} = [1 T]$
由 $G (s)$ 串联分解并引入中间变量 $z$ 有：
$\ddot{z}+2\zeta\omega\dot{z}+\omega^2{z}=u，y=T\dot{z}+z$
对 $y$ 求导数并考虑上述关系式，可得：
$\dot{y}=T\ddot{z}+\dot{z}=(1-2\zeta\omega{T})\dot{z}-\omega^2Tz+Tu$
令 $x_{c1}=z,x_{c2}=\dot{z}$ ，可导出状态变量与输入、输出关系：
${\begin{cases} x_{c 1} = [- T \dot{y} + (1 - 2 ζ ω T) y + T^{2} u] / (1 - 2 ζ ω T + ω^{2} T^{2}) \\ x_{c 2} = (\dot{y} + ω^{2} T y - T u) / (1 - 2 ζ ω T + ω^{2} T^{2}) \end{cases}$
可观测标准型动态方程各矩阵为：
$[\begin{matrix} x_{o 1} \\ x_{o 2} \end{matrix}]$
状态变量与输入、输出量的关系：
${\begin{cases} x_{o 1} = \dot{y} + 2 ζ ω y - T u \\ x_{o 2} = y \end{cases}$
系统可控标准型与可观测标准型状态变量图：
$\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 只含有单实极点情况。

当 $\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 只含单实极点时，可以化为可控标准型或可观测标准型动态方程外，还可化为对角型动态方程，其 $A$ 阵是一个对角阵；

设 $D (s)$ 可分解为：
$D(s)=(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\dots(s-\lambda_n)$
其中： $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 为系统的单实极点，则传递函数展成部分分式之和：
$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i}$
其中： $c_i=\left.\left[\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}(s-\lambda_i)\right]\right|_{s=\lambda_i}$ 为 $\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 在极点 $\lambda_i$ 处的留数，且有：
$Y(s)=\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s)$
令状态变量为：
$X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\dots,n$
反变换结果：
$\dot{x}_i(t)=\lambda_ix_i(t)+u(t),y(t)=\sum_{i=1}^nc_ix_i(t)$
向量-矩阵形式为：

$[\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ \dots \\ λ_{n} \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ + $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}]$ u, y= $[\begin{matrix} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{n} \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ $\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2} ⋮ \overset{x}{˙}_{n} = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} + 11 ⋮ 1 u, y = [c_{1} c_{2} \dots c_{n}] x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}$
状态变量图如下图所示：

若令状态变量：
$X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\cdots,n$
则：
$Y(s)=\sum_{i=1}^nX_i(s)$
向量-矩阵形式为：

$[\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ \dots \\ λ_{n} \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ + $[\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]$ u, y= $[\begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ $\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2} ⋮ \overset{x}{˙}_{n} = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} + c_{1} c_{2} ⋮ c_{n} u, y = [11 \dots 1] x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}$
状态变量图如下图所示：
$\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}$ 含重实极点时的情况

当传递函数除含单实极点外，还含有重实极点时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其 $A$ 阵是一个含有约当块的矩阵。

设 $D (s)$ 可分解为：
$D(s)=(s-\lambda_1)^3(s-\lambda_4)\dots(s-\lambda_n)$
式中， $\lambda_1$ 为三重实极点； $\lambda_4,\dots,\lambda_n$ 为单实极点，则传递函数可展成下列部分分式之和；
$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{c_{11}}{(s-\lambda_1)^3}+\frac{c_{12}}{(s-\lambda_1)^2}+\frac{c_{13}}{(s-\lambda_1)}+\sum_{i=4}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i}$
状态变量分别选取：
$X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s)和X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s)$
可得向量-矩阵形式动态方程为：

$[\begin{matrix} {\dot{x}}_{11} \\ {\dot{x}}_{12} \\ {\dot{x}}_{13} \\ {\dot{x}}_{4} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} λ_{1} & 1 \\ λ_{1} & 1 \\ λ_{1} \\ λ_{4} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{11} \\ x_{12} \\ x_{13} \\ x_{4} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ + $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}]$ u $\overset{x}{˙}_{11} \overset{x}{˙}_{12} \overset{x}{˙}_{13} \overset{x}{˙}_{4} ⋮ \overset{x}{˙}_{n} = λ_{1} 1 λ_{1} 1 λ_{1} λ_{4} ⋱ λ_{n} x_{11} x_{12} x_{13} x_{4} ⋮ x_{n} + 0011 ⋮ 1 u$

$[\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{4} & \dots & c_{n} \end{matrix}]$ $y = [c_{11} c_{12} c_{13} c_{4} \dots c_{n}]$

可控约当型动态方程状态变量图如下图所示：

$[\begin{matrix} {\dot{x}}_{11} \\ {\dot{x}}_{12} \\ {\dot{x}}_{13} \\ {\dot{x}}_{4} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} λ_{1} \\ 1 & λ_{1} \\ 1 & λ_{1} \\ λ_{4} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x_{11} \\ x_{12} \\ x_{13} \\ x_{4} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ + $[\begin{matrix} c_{11} \\ c_{12} \\ c_{13} \\ c_{4} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]$ u $\overset{x}{˙}_{11} \overset{x}{˙}_{12} \overset{x}{˙}_{13} \overset{x}{˙}_{4} ⋮ \overset{x}{˙}_{n} = λ_{1} 1 λ_{1} 1 λ_{1} λ_{4} ⋱ λ_{n} x_{11} x_{12} x_{13} x_{4} ⋮ x_{n} + c_{11} c_{12} c_{13} c_{4} ⋮ c_{n} u$

$[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix}]$ x $y = [0011 \dots 1] x$

可观约当型动态方程状态变量图如下图所示：

相关阅读:
C# 结构体介绍
linux高级篇基础理论二（详细文档、LAMP、SHELL、sed正则表达式）
Windows 安装 MySQL 5.7详细步骤
基于bp神经网络的房价预测,房价预测神经网络
StreamSaver.js入门教程：优雅解决前端下载文件的难题
java学习第209天，第四部分学习第9天，Linux学习第9天，p91-106（0911）-8h
ElasticSearch (ES)学习之路（二）Win10安装ES，可视化界面，Kibanna
(02)Cartographer源码无死角解析-(25) 阻塞队列BlockingQueue，与OrderedMultiQueue成员函数
基于springboot的ShardingSphere5.2.1的分库分表的解决方案之数据加密之AES的解决方案(八)
技术管理进阶——总监以上一定要会经济学

原文地址：https://blog.csdn.net/qq_39032096/article/details/109609898