【概率论基础进阶】随机变量及其分布-随机变量及其分布函数

一、分布律

定义：在样本空间$\Omega$上的实值函数$X=X(\omega )$，称$X(\omega ),\omega \in \Omega$，称$X(\omega )$为随机变量，简记$X$
注：$X(\omega )$的定义域是$\Omega$，常用$X,Y,Z$等表示随机变量

定义：如果一个随机变量的可能取值是有限多个或可数无穷多个，则称它为离散型随机变量

定义：设离散型随机变量$X$的可能取值是$x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$，$X$取各可能值的概率为
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots P{X=xk​}=pk​,k=1,2,⋯
称上式为离散型随机变量$X$的概率分布或分布律
分布律也有用列表方式给出的

或者
$$X\sim \left[\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}\right]$$
这里只给出$X$可能取值可数无穷多个的情形。不难给出$X$有限个可能取值的情形

严格来说，$P(A)$即用$()$括起来的应该是事件， P { X = x k } P \left\{X=x_{k}\right\} P{X=xk​}即用 { } \left\{\right\} {}括起来的应该是随机变量

分布律性质

• $p_k\ge 0,k=1,2,\cdots$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{p}_k=1$

二、分布函数

定义：设$X$是一个随机变量，对于任意实数$x$，记函数
F ( x ) = P { X ≤ x } , − ∞ < x < + ∞ F(x)=P \left\{X \leq x\right\},-\infty F(x)=P{X≤x},−∞<x<+∞
称$F(x)$为随机变量$X$的分布函数
分布函数$F(x)$是定义在$(-\infty ,+\infty )$上的一个实值函数，$F(x)$的值等于随机变量$X$在区间$(-\infty ,x]$内取值的概率，即事件$X\le x$的概率

注意 P { X ≤ x } P \left\{X \leq x\right\} P{X≤x}有等号
注意几个定义$P(A),X(\omega ),F(x)$

分布函数的性质

1. $0\le F(x)\le 1$
2. $F(x)$是单调非减函数，即当$x_1\le x_2$时，$F(x_1)\le F(x_2)$
3. $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$，记为$F(-\infty )=0$；$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$，记为$F(+\infty )=1$
4. $F(x)$是右连续的，即$F(x+0)=F(x)$

上述四条性质是函数$F(x)$成为某一随机变量分布函数的充要条件

做题的时候常先用第三条

对于第四条

用简单的扔硬币试验来辅助说明，把正面朝上赋值为X=0，把反面朝上赋值为X=1，（不考虑硬币立起来）。那么这个试验结果的概率的分布函数为下图：

为什么最左侧红线落在负无穷到零的开区间，因为开区间的含义是无限趋近，P{X≤0}与P{X≤x | x趋向于零但不等于零} 二者在概念上有本质区别。也就是说，因为含义不同，导致计算范围不同，最终导致概率不一样。
当x趋向于零但不等于零时（X<0等价于X≤x时x趋向于零但不等于零），它的概率对于抛硬币试验来说一定是零。但是X≤0，含义和范围就发生了变化，变成了 X<0 或者 X=0，也就是不管是 X<0 还是 X=0 都算作这个事件发生了，行话讲叫和事件，所以概率就是0+0.5=0.5而不是0了。正是分布函数经过跳跃间断点时含义发生变化的特点，导致概率分布函数是右连续的。

作者：阿狸的一百种玩法
链接：为什么概率分布函数是右连续？个人对概率的理解 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)

5. 对任意的$x_1<x_2$，有 P { x 1 < X ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P \left\{x_{1}P{x1​<X≤x2​}=F(x2​)−F(x1​)
6. 对任意的$x$， P { X = x } = F ( x ) − F ( x − 0 ) P \left\{X=x\right\}=F(x)-F(x-0) P{X=x}=F(x)−F(x−0)

当$F(x)$在$x$处时连续时，$F(x)-F(x-0)=0$，根据性质$5.$就有 P { X = x } = 0 P \left\{X=x\right\}=0 P{X=x}=0

例1：从$1,2,3,4$中随机取$2$个数，则其中的小者$X$的分布律为（）

从四个数中取两个有$C_4^2$中情况，以选两个数为思考角度，有
P { X = 1 } = C 3 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 2 P { X = 2 } = C 2 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 6 P { X = 3 } = C 1 1 ⋅ C 1 1 C 4 2 = 1 6 P{X=1}=C13⋅C11C24=12P{X=2}=C12⋅C11C24=16P{X=3}=C11⋅C11C24=16 P{X=1}P{X=2}P{X=3}​=C42​C31​⋅C11​​=21​=C42​C21​⋅C11​​=61​=C42​C11​⋅C11​​=61​​
结果为

依旧强调之前的，一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母任选两个数，分子就是任选两个符合要求的数

例2：设随机变量$X$的分布函数为$F(x)=\{\begin{array}{rlr}& a+\frac{b}{1+x}& x\ge 0\\ & c& x<0\end{array}$，其中$a,b,c$为常数，则$b$可能的取值范围为（）

由$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$，$c=0,a=1$，有
$$1+\frac{b}{1+0}\ge 0\Rightarrow b\ge -1$$
由$F(x)$单调非减，$b\le 0$

遇到分布函数性质相关题，一般做题的时候先用第三条，即$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$

例3：设$F_1(x)$与$F_2(x)$分别为随机变量$X_1$和$X_2$的分布函数，为使$F(x)=a{F}_1(x)-b{F}_2(x)$也是分布函数，说明$a,b$满足的条件

$$\{\begin{array}{rl}& F(-\infty )=a{F}_1(-\infty )-b{F}_2(-\infty )=0\\ & F(+\infty )=a{F}_1(+\infty )-b{F}_2(+\infty )=1\\ & F(x)=a{F}_1(x)-b{F}_2(x)单调不减\Rightarrow a>0,b<0\end{array}$$
显然右连续，所以不写了。因此$a,b$要满足
$$\{\begin{array}{rl}& a-b=1\\ & a>0,b<0\end{array}$$

三、概率密度

定义：如果对随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在一个非负可积函数$f(x)$，使得对任意实数$x$，都有
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,-\infty <x<+\infty$$
称$X$为连续型随机变量，函数$f(x)$称为$X$的概率密度

连续型随机变量的$F(x)$必连续，但$f(x)$不一定是连续的

概率密度的性质

1. $f(x)\ge 0$
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$，即$F(+\infty )=1$

上述条件是函数$f(x)$成为某一连续型随机变量的概率密度充要条件。

类似分布函数，做题的时候常先用第二条

3. 对任意实数$x_1<x_2$，有 P { x 1 < X ≤ x 2 } = ∫ x 1 x 2 f ( t ) d t P \left\{x_{1}P{x1​<X≤x2​}=∫x1​x2​​f(t)dt
4. 在$f(x)$的连续点处有$F^{\prime }(x)=f(x)$

如果$X$是连续型随机变量，则显然有
P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { x 1 ≤ X < x 2 } = P { x 1 < X < x 2 } = P { x 1 ≤ X ≤ x 2 } P \left\{x_{1}P{x1​<X≤x2​}=P{x1​≤X<x2​}=P{x1​<X<x2​}=P{x1​≤X≤x2​}

例4：已知$f(x)$为概率密度函数，说明$f(-x)$也是概率密度函数，$f(2x)$不是概率密度函数

做题的时候常先用第二条${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-x)dx\stackrel{-x=t}{=}{\int }_{+\infty }^{-\infty }f(t)d(-t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1$$
又有$f(-x)\ge 0$，因此$f(-x)$是概率密度函数
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2x)dx\stackrel{2x=t}{=}{\int }_{+\infty }^{-\infty }f(t)d\frac{t}{2}=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=\frac{1}{2}$$
显然$f(2x)$不是概率密度函数

注意此处，如果
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-x)dx=-{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-x)d(-x)\ne -F(x)$$
里面的字母不同，不定积分结果相同，但定积分结果不同，应该是
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-x)dx& =-{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-x)d(-x)\\ & =-F(-x){|}_{-\infty }^{+\infty }\\ & =-(F(-\infty )-F(+\infty ))\\ & =-(0-1)=1\end{array}$$