排书 ← IDA*

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/description/182/

【题目描述】
给定 n 本书，编号为 1∼n。
在初始状态下，书是任意排列的。
在每一次操作中，可以抽取其中连续的一段，再把这段插入到其他某个位置。
我们的目标状态是把书按照 1∼n 的顺序依次排列。
求最少需要多少次操作。

【输入格式】
第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。
每组数据包含两行，第一行为整数 n，表示书的数量。
第二行为 n 个整数，表示 1∼n 的一种任意排列。
同行数之间用空格隔开。

【输出格式】
每组数据输出一个最少操作次数。
如果最少操作次数大于或等于 5 次，则输出 5 or more。
每个结果占一行。

【输入样例】
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10

【输出样例】
2
3
5 or more

【数据范围】
1≤n≤15

【算法分析】
本算法涉及两个重要问题：
一、存取问题
如果一次取出连续的 i 本书，则共有 n-i+1 种选法。针对剩下的 n-i 本书，一共有 n-i+1 个可供插入的位置。除去这 i 本书原来所在的位置，则还有 n-i 个位置可以插入这 i 本书。故共有 (n-i+1)*(n-i) 种选法。另外，由于“将这 i 本书放到某些书的后面”等价于“将某些书放到这 i 本书前面”，因此最终的选法数为 (n-i+1)*(n-i)/2。由于本题约定 i 可以从 1 取到 15，因此选法共有 (15×14+14×13+....+2×1)/2=680 种。
计算时，可直接代入公式 n×(n−1)+(n−1)×(n−2)+....+2×1=n×(n+1)×(n+2)/3 求解。
由于每组数据一次操作有 680 种选择，最多操作 4 次，因此最多遍历次数为 680^4=213,813,760,000。显然，若直接暴搜会超时。因此，选择 IDA* 算法来求解。

二、估价函数 h()
由于每次移动一个串，最多改变 3 个元素的后继关系。
针对排好序的串中的元素 i，其正确的后继为 i+1。
假设一共有 tot 个后继不正确，则修复这些后继需要的最少步数为 ⌈tot/3⌉=⌊(tot+2)/3⌋。（C++中的 '/' 是向下取整，方便编程）
因此，当前状态 cur 的估价函数，可以设计成 h(cur)=⌈tot/3⌉。
设搜索深度为maxd，假设当前在第 cur 层，则当 cur+h(cur)>maxd 时候，就说明不论怎么走，都不可能在 maxd 的限制之内找到目标状态，此时就可以进行“剪枝”操作。

【算法代码一】

#include 
using namespace std;
 
const int maxn=15;
int id[maxn]; //BookID
int v[5][maxn];
int n;
 
int h() { //evaluation function
	int res=0;
	for(int i=0; i+1
		if(id[i+1]!=id[i]+1) res++;
 
	return (res+2)/3;
}
 
bool check() { //Check whether the sequence is in order
	for(int i=0; i
		if(id[i]!=i+1) return false;
	return true;
}
 
bool dfs(int cur, int dep) {
	if(cur+h()>dep) return false; //Pruning operation
	if(check()) return true;
 
	for(int len=1; len<=n; len++) //Enumerate length
		for(int L=0; L+len-1//Enumerate the left endpoint
			int R=L+len-1;
			for(int k=R+1; k
				memcpy(v[cur],id,sizeof(id));
 
				int x,y;
				// Move the right segment to the left segment
				for(x=R+1,y=L; x<=k; x++,y++) id[y]=v[cur][x];
				// Move the left segment to the right segment
				for(x=L; x<=R; x++,y++) id[y]=v[cur][x];
 
				if(dfs(cur+1,dep)) return true;
 
				memcpy(id,v[cur],sizeof(id));
			}
		}
	return false;
}
 
int main() {
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0; iscanf("%d",&id[i]);
 
		int maxd=0;
		while(maxd<5 && !dfs(0,maxd)) maxd++; //IDDFS
 
		if(maxd>=5) printf("5 or more\n");
		else printf("%d\n",maxd);
	}
 
	return 0;
}
 
 
/*
in:
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10
out:
2
3
5 or more
*/

【算法代码二】

#include 
using namespace std;
 
const int maxn=15;
int id[maxn]; //BookID
int v[5][maxn];
int n;
 
int h() { //evaluation function
	int res=0;
	for(int i=0; i+1
		if(id[i+1]!=id[i]+1) res++;
 
	return (res+2)/3;
}
 
bool check() { //Check whether the sequence is in order
	for(int i=0; i
		if(id[i]!=i+1) return false;
	return true;
}
 
bool dfs(int cur, int dep) {
	if(cur+h()>dep) return false; //Pruning operation
	if(check()) return true;
 
	for(int len=0; len//Enumerate length
		for(int L=len; L//Enumerate the left endpoint
			for(int k=L+1; k
				memcpy(v[cur],id,sizeof id);
				int x,y;
				for(x=L+1,y=len; x<=k; x++,y++) id[y]=v[cur][x];
				for(x=len; x<=L; x++,y++) id[y]=v[cur][x];
				if(dfs(cur+1,dep)) return true;
				memcpy(id,v[cur],sizeof id);
			}
	return false;
}
 
int main() {
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0; iscanf("%d",&id[i]);
 
		int maxd=0;
		while(maxd<5 && !dfs(0,maxd)) maxd++; //IDDFS
 
		if(maxd>=5) printf("5 or more\n");
		else printf("%d\n",maxd);
	}
 
	return 0;
}
 
 
/*
in:
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10
out:
2
3
5 or more
*/

【参考文献】
https://www.cnblogs.com/NoahBBQ/p/15149295.html
https://www.acwing.com/solution/content/42928/
https://www.cnblogs.com/wk-love-zsy/p/14203172.html
https://blog.csdn.net/qiaodxs/article/details/125352472
https://blog.51cto.com/u_3044148/5101926