RLChina2022暑期学习-博弈论基础Game theory

大纲Outline

Motivation and Normal-form Game

人工智能的发展

感知智能(DL)-决策智能(RL)-多智能体决策（RL+博弈论）

生活中的博弈

博弈论发展 历程

博弈要素

1. 玩家
2. 玩家策略集合，最简单的石头剪刀布，每个玩家有三个动作
3. 博弈的效用，奖赏：每个玩家都有各自的矩阵。函数的输入是每个玩家的动作，输出的是奖赏
   
   把上面的这种石头剪刀布表示成下面表格的形式，就是标准形式的博弈
   

博弈里面有一个假设

每一个玩家都是理性的。1.比较自私，更看重自己的利益；2.

公共知识：所有玩家都知道的事情。游戏规则都知道。都知道对方是理性的。

纯策略：非此即彼
Mixed 策略就是对动作分配了一个概率分布。这样让对手就不好猜。这种情况下，用期望效用来表表示受益

博弈的分类

• 零和博弈：游戏的场景中，两个玩家所得到受益，相加永远为0。只要有一个不是0,都不是零和博弈。表1（横纵轴分别表示两个玩家的动作，抛硬币游戏）
• 合作博弈：两个玩家的效用相等。表2
• 协同博弈：有多个纳什均衡
• 社会困境：囚徒困境。两个人都抵赖，其实是最好的收益。但是从玩家的角度，他们为了获得期望最大，最后都会坦白。
  

扩展式博弈和非完美信息

博弈树

用树的结构来表示博弈的情况。叶子节点定义博弈结果。边是动作，node是玩家。这种树的结构表示的博弈就是扩展式博弈

扩展式博弈的策略

• 玩家1与前方normal(正则)博弈有相同的策略
• 玩家2：就要根据玩家1采取的动作，来分策略。其策略就变为多维

• 正则式博弈：是静态的博弈
• 扩展式博弈：动态博弈，可以有多个回合。
  

非完美信息

• 我做了一些动作，别人不知道
• 玩家1历史上做的一些动作，对于玩家2来说是不可知的。这就是非完美的。也就是下图中玩家2不知道自己是处在b还是c。
• 这两个状态对于玩家2来说，就是一个信息集
  

马尔科夫博弈（随机博弈）

RL中用的博弈基本上都是马尔科夫博弈。
这个也是属于动态博弈。
马尔科夫博弈是一个图结构

属性

• 定义状态空间
• 定义动作空间
• 定义状态转移
• 定义奖励函数
  步骤：
• 智能体获得当前状态
• 每一个智能体确定执行动作
• 环境在告诉他们会转移到哪个状态
  行为策略
• 玩家收到状态，决定采取什么动作。仅依赖状态

对比

贝叶斯博弈与非完全信息

例子：引入贝叶斯博弈

下面是拍卖的游戏

• 玩家都有一个隐藏信息。即内心的价格
• 玩家都出一个价格
• 出价高的玩家获得物品，他的奖励就是内心估值-实际出价。另一个玩家就是0
  由于对方玩家可能有不同的内心价格，玩家1需要分情况猜测
• 玩家的出价信息也是有一个出价空间的。
  

非完全信息

玩家不知道对方的收益矩阵

贝叶斯博弈（静态）单步

描述有隐藏信息的博弈。
玩家对对方的收益矩阵建立一个概率分布

动态贝叶斯博弈

纳什均衡

了解完博弈的类型，现在开始考虑玩家的策略

• 最好的响应best response：假设给定别人的动作，我的动作可以根据策略表，选择最好的动作
• 占优策略DS：不管别人的动作怎么变，我的这个策略总是最好的。那就是占优策略。
• 举例：比如下方的表格，对于绿色玩家而言，D就是占优。不管蓝色玩家出C还是D,绿色玩家采取D得到的奖励都大于采取C 得到的奖励
  

联合动作：纳什均衡

纳什均衡下的每一个玩家，改变动作已经不能使自己的奖励变得更好，这个时候就达到了一种稳态，也就是纳什均衡。通俗一点：在这个状态下，每个人对自己的其他动作而言，都是占优的

帕累托最优与纳什均衡比较

• 纳什均衡是一个稳定点
• 帕累托最优是一个局部最好点，
  

混合策略纳什均衡

扩展式博弈下的纳什均衡

先将扩展式博弈写成正则博弈的表达式。
下面的例子有三个纳什均衡，但是只有(3,3)是最稳定的

Subgame perfect Nash 均衡（SPNE）

在所有的子树里面都最稳定的那个

贝叶斯博弈的纳什均衡

举例

纳什均衡的一些性质

重复博弈

一个陌生的玩家，我不知道你的策略，所以我要重复跟你玩游戏，然后学习。