考研数学05-12年真题总结

在家两个月时间，从学校带了很多数学题。本来想统统做完，结果都没做完（暑期在家，复习效率离谱），但好说歹说把带回来的8份卷子做完了。毕竟是年份比较久远的卷子，没有太多的参考意义，但也可以从中琢磨出题的样式和考法。
我把这几年考的大题与我觉得不错的小题给整理了一下，标绿色的就是我认为比较难的题目和很出彩的题目。

接下来我就说一下我做完这8份卷子的感受。

重视基本运算

这八份卷子基本上都是以基本运算为主，无论是幂级数求和还是曲面积分计算，亦或是多元函数极值，都是课后习题或者期末考试的难度。大部分题目考察的往往是单一的知识点，这要求我们对公式，方法熟练运用。线代中的特征值与特征向量、概率中的随机变量函数的概率密度也是年年必考，注重的是考察基本计算和方法。
例如09年17题，常规定积分应用
09年15题，送分的无条件极值。搞清楚$AC-B^2$即可

12年的16、17题。都是常规的课后习题

像多元函数极值、幂级数求和、重积分、线面积分、特征值和特征向量、概率密度、参数估计这都是大题命题的重点，需要我们熟练掌握做题步骤，不能忽视细节。别觉得自己和答案有一两处出入，觉得差不多就过去了。等到时候在考场上这些小错误会被无限的放大。

灵活考察概念

考试的时候不可能出一张卷子让你默写出概念文字，一定是放在一道题目里考察你是否能挖掘问题的本质（也就是从定义入手），转换到我们熟悉的方法。
例如06年22题

这题第二问很多人可能一上来就想办法求出F(x,y)，这样做不仅计算量大，而且极易容易出错。既然是让我们某一点的分布函数数值，我们可以考虑分布函数的定义：

把$F(-\frac{1}{2},4)$给转换为
$$P\left\{X\le -\frac{1}{2}，Y\le 4\right\}$$再利用$Y=X^2$，给转换为关于X的概率事件。
再看09年18题

第一问就是利用罗尔定理证明拉格朗日，但如何构造辅助函数就考察了你的基本功。第二问就要证明就利用的第一问的结论，但还是区分导数的极限和某点左右导数。
还有08年21题

第一问用到了第二类数学归纳法。但第一次做不出来我们可以考虑第二问，求解唯一解$x_1$。很多人一上来就想初等变换，那样第一问的结论不就没用了？线性代数里学过克莱默法则，用来判断方阵是否可逆，方程是否有零解、求解方程组等等。但我们通常使用初等变换来解方程组。老师上课说过不常使用克莱默法则求解方程组，因为对于n维的解向量你需要求n+1个n阶行列式。但这个题目仅让你求其中的$x_1$，求解两个行列式就搞定了。很多考生对这个方法不熟悉，没有想到使用克莱默法则。
再看一下12年第六题

这是一道考察极限存在和可微之间的关系。那么我们课本上是如何定义可微的呢？
再从极限存在的角度去考虑可微就可以了。

综合性强

真题往往不会单一的1考察某一知识点，毕竟数学一考点那么多，整张试卷只有22道大题（21年以后）。那么一道题目至少有五六个考点，一道大题可能有十几个考点，甚至不同科目间也会出现交叉知识。
例如08年第六题

要做出这道题目，你需要从图中看出来二次曲面方程的一般形式。同时与线代的二次型进行结合，得到正特征值的个数。这就是一道高数与线代交叉内容的题目。如果你能记得双叶双曲面的标准方程，恭喜你4分到手，秒了。如果实在不记得，我们可以考虑这个图形是怎么构造的：这个图形无非就是一个双曲线绕x轴旋转嘛，双曲线方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
高中学过吧，绕x轴旋转得到的曲面方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$$
也很容易得到吧，这样一来即是我们背不下来，我们也可以追根溯源，从源头上利用已知的知识快速解决。
再看一道09年第八题

这是一道分布函数求间断点的题目，又没给出分布函数的具体表达式，很多人一看就懵逼了？怎么办？还是追根溯源。
从分布函数的定义式出发，并利用已知的条件Z=XY
F z ( z ) = P { x y ≤ z } = P { 0 ≤ z } P { Y = 0 } + P { X ≤ z } P { Y = 1 } = 1 2 P { 0 ≤ z } + 1 2 P { X ≤ z } F_z{(z)}=P\left \{xy≤z \right \}=P\left \{0≤z \right \}P\left \{Y=0 \right \}+P\left \{X≤z \right \}P\left \{Y=1 \right \} \\ =\frac{1}{2}P\left \{0≤z \right \}+\frac{1}{2}P\left \{X≤z \right \} Fz​(z)=P{xy≤z}=P{0≤z}P{Y=0}+P{X≤z}P{Y=1}=21​P{0≤z}+21​P{X≤z}
好了，我们现在还不知道z的取值范围，故对此进行讨论：

既然$F_z(z)$的表达式已经出来了，那我们就按照间断点的定义
$$\begin{gathered} z<0时，\underset{x\to 0}{\lim }{F}_z(z)=\frac{1}{2}\Phi (0) \\ 而F_z(0)=\frac{1}{2}[\Phi (0)+1] \end{gathered}$$
这很明显在z=0处左侧极限不等于该点函数值，故不符合连续的定义

连续的三个条件
1.在该点有定义
2.该点的极限存在
3.该点的极限等于函数值

还有11年第十九题

题目不是很难，被积函数出现导函数了，肯定想到使用分部积分，其实也就是一个套着二重积分皮的分部积分。

还有一些不太常见但书上都有提及的内容：10年第十三题考察向量空间维数；09年第十九题考察高斯公式区域内有无定义点的问题不容忽视的细节——线面积分中的奇点；06年最后一题考察离散型随机变量的极大似然估计一道概率题引发对考研数学复习的思考
暑期复习就先告一段落了，回到学校就要开启新的篇章了。咱也不能老看数学，还有英语和专业课（408真的难呀我吐了）。暑期就这么被浪费了，在家不是打游戏就是去健身，学习一点也没上上心，哎就这样吧。