证明方法一：
设 λ \lambda λ 为半正定矩阵 A A A 的最小特征值，因为 A − λ I A-λI A−λI 也是半正定矩阵(考虑标准形)，且半正定矩阵对角元大于等于 0 (考虑一级主子式)，于是得证.
证明方法二：
既然 A 是半正定矩阵，不妨假设最小的特征值为
λ
\lambda
λ，则显然
A
−
λ
E
A-\lambda{E}
A−λE 也是半正定矩阵，其中
E
E
E 是单位矩阵。这是因为
A
A
A 对角化以后对元素减去
λ
\lambda
λ 必然不小于 0。既然
A
−
λ
E
A-\lambda{E}
A−λE 也是半正定，则不妨假设
A
−
λ
E
A-\lambda{E}
A−λE 的对角元素最小为
λ
i
\lambda{_i}
λi ，不妨假定该对角元素是第
i
i
i 个对角元素，则令
X
=
(
0
,
0
,
…
,
0
,
1
,
0
,
…
,
0
,
0
)
T
X=(0,0,…,0,1,0,…,0,0)^T
X=(0,0,…,0,1,0,…,0,0)T
其中只有第
i
i
i 个分量是1，其余均是 0。则
X
T
(
A
−
λ
E
)
X
=
λ
1
⩾
0
X^T(A-\lambda{E})X=\lambda{_1}\geqslant 0
XT(A−λE)X=λ1⩾0
最后一步是因为
A
−
λ
E
A-\lambda{E}
A−λE 半正定，得证。