矩阵分析与应用-18-Moore-Penrose逆矩阵02

矩阵分析与应用-18-Moore-Penrose逆矩阵02

Moore-Penrose 逆矩阵的计算

方程求解法

第一步:分别求解矩阵方程得到.

第二步:计算广义逆矩阵 $A^\dagger=XAY$

若矩阵A 为Hermitian矩阵，上述方法可以简化，因为以上两个矩阵方程等价为一个矩阵方程

若,Moore-Penrose逆矩阵可以计算为

$A^\dagger=XAX^H$

算法1

步骤1计算矩阵。

步骤2求解矩阵方程得到矩阵。

步骤3计算B的Moore-Penrose逆矩阵 $B^\dagger=(AA^H)^\dagger=XBX^H$ 。

步骤4计算矩阵A的Moore-Penrose逆矩阵 $A^\dagger=A^H(AA^H)^\dagger=A^HB^\dagger$ 。

算法2

步骤1计算矩阵。

步骤2求解矩阵方程得到矩阵。

步骤3计算的Moore-Penrose逆矩阵 $B^\dagger=(A^HA)^\dagger=XBX^H$ 。

步骤4计算矩阵A的Moore-Penrose逆矩阵 $A^\dagger=(A^HA)^\dagger A^H=B^\dagger A^H$ 。

KL分解法

若A=KL是矩阵Amxn的满秩分解，则

$G=L^H(K^HAL^H)^{-1}K^H$

递推法

算法3

初始值 $A_1^\dagger=a_1^\dagger=(a_1^Ha_1)^{-1}a_1^H$ 。

递推令k= 2,3,…- ,n，进行以下计算:

$d_k=A^\dagger_{k-1}a_k$

$b_k=\begin{cases} (1+d_k^Hd_k)^{-1}d_k^HA_{k-1}^\dagger & d_k^Hd_k\neq -1 \\ (a_k-A_{k-1}d_k)^\dagger &d_k^Hd_k= -1 \end{cases}$

$A_k^\dagger=\begin{bmatrix} A^\dagger_{k-1}d_kb_k\\ b_k \end{bmatrix}$

迹方法

步骤1计算矩阵。

步骤2令。

步骤3计算

$C_{i+1}=\frac{1}{i}tr(C_iB)I-C_iB,i=1,2,...,r-1$

步骤4计算

$A^\dagger=\frac{r}{tr(C_iB)}C_iA^T$

注： $C_{i+1}B=O,tr(C_iB)\neq 0$ .
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