U231683 younger 永存

原题链接
我不会三角函数，公式很长，别喷我

结论推导

按照题意，我们可以得到上面的图形（乱画的，不标准），我们发现，这一条线段将三角形分为的两个部分，至少有一个是三角形。如果我们可以将 $DE$ 的长度表示为一个函数，会好求得多。我们尝试用只含有 $CD$ 的式子表示出 $ED$：
由于我不会三角函数，只会勾股定理和海伦公式，便有了下面的推导：

先做出 $△CDE$ 在 $CD$ 边上的高（$EF$），由于 $S_{△CDE}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}CD\times EF$,我们可以得到：
$$EF=\frac{2\times \frac{1}{2}{S}_{△ABC}}{CD}=\frac{2\times \frac{1}{2}\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD}=\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD}$$
现在，若使用勾股定理，我们距离 $DE$ 仅有一 $FD$ 之遥，那么怎么求出 $FD$？
转化一下： $FD=CD-CF$，而 $CF$ 是很好求的，众所周知，这种 $90^{\circ },60^{\circ },30^{\circ }$ 的三角形两直角边的比例是 $\sqrt{3}:1$，
$$\begin{gathered} \therefore CF=\frac{1}{\sqrt{3}}EF=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD} \\ \therefore FD=CD-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD} \end{gathered}$$
勾股一下：
$$ED=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD}\right)}^2+{\left(CD-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{CD}\right)}^2}$$
我们已经求出了线段 $ED$ 长度的函数，为了求出 $ED$ 长度的最小值，我们需要求出这个函数的最低点，也就是该函数导数为0的点中的某一个，假设该函数为 $f(x)$，我们来对它求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot {\left({\left(\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{x}\right)}^2+{\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{x}\right)}^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(2\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{x}\cdot \left(-\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}\right)x^{-2}+2\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{x}\right)\cdot \left(1+\frac{\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}}{\sqrt{3}}{x}^{-2}\right)\right)$$
化简得（化简过程）：
$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\frac{3x^4-4\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}{3x^3}}{\sqrt{\left(\frac{4\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}{3x^2}+x^2-\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{AB+AC+BC}{2}\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AB\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-BC\right)\left(\frac{AB+AC+BC}{2}-AC\right)}\right)}}$$
由于该三角形是等边三角形，我们可以使用 $n$ 来代表 $AB,AC,BC$，并进行进一步化简（化简过程）：
$$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^4-\frac{n^4}{4}}{x^2\sqrt{\frac{n^4}{4}+x^4-\frac{n^2{x}^2}{2}}}$$
由于需要求出导数为0的位置的x坐标，我们可以列出方程：
x 4 − n 4 4 x 2 n 4 4 + x 4 − n 2 x 2 2 = 0 x 4 x 2 n 4 4 + x 4 − n 2 x 2 2 − n 4 4 x 2 n 4 4 + x 4 − n 2 x 2 2 = 0 x 4 x 2 n 4 4 + x 4 − n 2 x 2 2 = n 4 4 x 2 n 4 4 + x 4 − n 2 x 2 2 x 4 = n 4 4 x = ± n 4 4 4 x = ± n 2

x24n4​+x4−2n2x2​ ​x4−4n4​​x24n4​+x4−2n2x2​ ​x4​−x24n4​+x4−2n2x2​ ​4n4​​x24n4​+x4−2n2x2​ ​x4​x4xx​=0=0=x24n4​+x4−2n2x2​ ​4n4​​=4n4​=±44n4​ ​=±2 ​n​​
由于长度只能取正数（在这里，$x$ 所表示的是 $CD$ 的长度），所以 $x=\frac{n}{\sqrt{2}}$。
将 $x(=CD)=\frac{n}{\sqrt{2}}$ 带回原式计算：
$$E{D}_{min}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{\frac{3n}{2}\left(\frac{3n}{2}-n\right)\left(\frac{3n}{2}-n\right)\left(\frac{3n}{2}-n\right)}}{\frac{n}{\sqrt{2}}}\right)}^2+{\left(\frac{n}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{\frac{3n}{2}\left(\frac{3n}{2}-n\right)\left(\frac{3n}{2}-n\right)\left(\frac{3n}{2}-n\right)}}{\frac{n}{\sqrt{2}}}\right)}^2}$$
得到（计算过程）：
$$E{D}_{min}=\frac{n}{\sqrt{2}}$$

代码实现

#include
using namespace std;
int main()
{
    double n;
    cin>>n;
    printf("%.5f",n/sqrt(2));
    return 0;
}
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另一种方法

其实，上面的过程，也说明了当 $ED$ 最小时，$ED=CD$，所以：
（以大三角形边长为 $2$ 为例）
注：请不要在意那个圆，只是为了截取 $\sqrt{2}$ 的长度才画的。
如图，我们得到了一个等腰三角形，由于等腰三角形的底角相等，我们可以得到：

根据三角形的内角和，我们又可以得到：

可以证明，当 $ED$ 最短时，所截出的小三角形一定是一个等边三角形，于是，可以得出以下方程（设 $DE=x$，$AB=n$）：
3 x 2 ( 3 x 2 − x ) ( 3 x 2 − x ) ( 3 x 2 − x ) = 1 2 3 n 2 ( 3 n 2 − n ) ( 3 n 2 − n ) ( 3 n 2 − n ) 3 x 2 ( x 2 ) 3 = 1 2 3 n 2 ( n 2 ) 3 3 x 4 16 = 1 2 3 n 4 16 3 x 2 4 = 1 2 3 n 2 4 3 x 2 = 3 n 2 2 x 2 = n 2 2 x = ± n 2 2 x = ± n 2

23x​(23x​−x)(23x​−x)(23x​−x) ​23x​(2x​)3 ​163x4​ ​43 ​x2​3 ​x2x2xx​=21​23n​(23n​−n)(23n​−n)(23n​−n) ​=21​23n​(2n​)3 ​=21​163n4​ ​=21​43 ​n2​=23 ​n2​=2n2​=±2n2​ ​=±2 ​n​​
由于长度只能取正数（在这里，$x$ 所表示的是 $DE$ 的长度），所以 $x=\frac{n}{\sqrt{2}}$。
$$\therefore E{D}_{min}=\frac{n}{\sqrt{2}}$$