LCA 的若干种求法

对于有根树来说，LCA 指两点的最近公共祖先。求法较多，下面选取一些有特色的求法来讲解。

树链剖分法

特点：$O(n)$ 预处理，单次 $O(\log n)$。

首先对树进行轻重链剖分预处理。

在求两个点 $u,v$ 的 LCA 时，分为以下两种情况：

• 若 $u,v$ 在同一条重链上，则两者为祖孙关系，返回深度小的点；
• 若 $u,v$ 不在同一条重链上，则可以把更深的那条重链跳过去，LCA 不变。

由于重链数量为 $O(\log n)$，所以单次复杂度为 $O(\log n)$。

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倍增法

特点：$O(n\log n)$ 预处理，单次 $O(\log n)$，常数大，空间大，所以被上者吊打。

改进自逐步上移法。大致分为两个过程：

• 先让深度大的点上移，直到两个深度相等。
• 再让两个点一直向上移动相同步，直到到同一个点。

这两过程均可使用倍增加速。

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dfs 序+RMQ 法

原来是打算用欧拉序+RMQ 法的，但好像改用 dfs 序也挺好的，常数更小一点。

特点：$O(n\log n)$ 预处理，单次 $O(1)$。

首先我们对整棵树进行一次 dfs 得到 dfs 序。假如我们求的是 $u,v$ 的 LCA （其中 $df{n}_u<df{n}_v$）。无非两种情况：

1. $u$ 与 $v$ 在其 LCA 的两棵子树内。
   这种情况下，$u,v$ 的 LCA 的时间戳并不在 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 中。但是，$v$ 所在子树离 LCA 最近的节点一定在 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 中，且一定为深度最小点。我们只需要求出 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 中深度最小点，再取其父亲，就是 LCA 了。
2. $u$ 是 $v$ 的祖先。这个时候 LCA 就是 $u$。

我们综合 1 2，只要取出 $[df{n}_u+1,df{n}_v]$ 中的深度最小点，再取其父亲即可。这个可以用 st 表处理。

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Tarjan 法的

还不会