写在前面

1、本文内容
四元数、罗德里格斯公式、欧拉角、旋转矩阵推导和资料
2、转载请注明出处：
https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/126002167

资料

四元数
Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》 https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
http://mars.cs.umn.edu/tr/reports/Trawny05b.pdf
几种三维空间旋转的表达方式转换
三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840
彻底搞懂“旋转矩阵/欧拉角/四元数”，让你体会三维旋转之美 https://blog.csdn.net/weixin_45590473/article/details/122884112
展示欧拉角与四元数动态变换关系的网站
https://quaternions.online/

罗德里格斯公式

https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues’_rotation_formula
罗德里格斯公式（Rodrigues Formula） https://blog.csdn.net/weixin_40215443/article/details/123950141
二维xy坐标旋转 https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/116245483#t4

推导

先放这，有空来推一遍

几种表达方式

$K$是$k$的叉乘矩阵，即$\mathbf{K}={\mathbf{k}}^{\wedge }$,($\mathbf{k}$的叉乘矩阵也可表示为${\mathbf{k}}_{\times }$)
1、
R = I + ( 1 − cos ⁡ θ ) K 2 + ( sin ⁡ θ ) K = I + ( 1 − cos ⁡ θ ) [ k ∧ ] 2 + ( sin ⁡ θ ) k ∧

R​=I+(1−cosθ)K2+(sinθ)K=I+(1−cosθ)[k∧]2+(sinθ)k∧​
2、
由${\mathbf{K}}^2={\mathbf{k}}^{\wedge }{\mathbf{k}}^{\wedge }=\mathbf{k}{\mathbf{k}}^T-\mathbf{I}$
可得
R = I + ( 1 − cos ⁡ θ ) ( k k T − I ) + ( sin ⁡ θ ) k ∧ = cos ⁡ θ I + ( 1 − cos ⁡ θ ) k k T + ( sin ⁡ θ ) k ∧

R=I+(1−cos⁡θ)(kkT−I)+(sin⁡θ)k∧=cos⁡θI+(1−cos⁡θ)kkT+(sin⁡θ)k∧" role="presentation" style="position: relative;">R=I+(1−cosθ)(kkT−I)+(sinθ)k∧=cosθI+(1−cosθ)kkT+(sinθ)k∧$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\mathbf{I}+(1-\cos \theta )(\mathbf{k}{\mathbf{k}}^T-\mathbf{I})+(\sin \theta ){\mathbf{k}}^{\wedge }\\ & =\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\mathbf{k}{\mathbf{k}}^T+(\sin \theta ){\mathbf{k}}^{\wedge }\end{array}$$

R​=I+(1−cosθ)(kkT−I)+(sinθ)k∧=cosθI+(1−cosθ)kkT+(sinθ)k∧​
3、
高博的14讲中推导了指数映射

$$\mathbf{R}=exp(\theta {\mathbf{k}}^{\wedge })=\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\mathbf{k}{\mathbf{k}}^T+(\sin \theta ){\mathbf{k}}^{\wedge }$$

四元数转旋转矩阵

根据http://mars.cs.umn.edu/tr/reports/Trawny05b.pdf，四元数转旋转矩阵为：

G L C ( q ˉ ) = ( 2 q 4 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 q q T = ( 2 q 4 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 [ q × ] 2 + 2 ∣ q ∣ 2 ⋅ I 3 × 3 = ( 2 q 4 2 + 2 ∣ q ∣ 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 [ q × ] 2 = ( 2 q 4 2 + 2 ( q 1 2 + q 2 2 + q 3 2 ) − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 [ q × ] 2 = ( 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 [ q × ] 2 = I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 [ q × ] 2

GL​C(qˉ​)​=(2q42​−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2qqT=(2q42​−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2[q×​]2+2∣q∣2⋅I3×3​=(2q42​+2∣q∣2−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2[q×​]2=(2q42​+2(q12​+q22​+q32​)−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2[q×​]2=(2−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2[q×​]2=I3×3​−2q4​[q×​]+2[q×​]2​
其中 q ˉ = [ q q 4 ] = [ q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ] T \bar{q}=

[qq4]" role="presentation" style="position: relative;">[qq4]$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{q}\\ q_4\end{array}\right]$$

=[q_1,q_2,q_3,q_4]^T qˉ​=[qq4​​]=[q1​,q2​,q3​,q4​]T，$\mathbf{q}=[q_1,q_2,q_3{]}^T$，$q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2=1$
则
G L  ⁣ R = [ 1 − 2 q 2 2 − 2 q 3 2 2 ( q 1 q 2 + q 3 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 − q 2 q 4 ) 2 ( q 1 q 2 − q 3 q 4 ) 1 − 2 q 1 2 − 2 q 3 2 2 ( q 2 q 3 + q 1 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 + q 2 q 4 ) 2 ( q 2 q 3 − q 1 q 4 ) 1 − 2 q 1 2 − 2 q 2 2 ] {}_G^L\!R=

[1−2q22−2q322(q1q2+q3q4)2(q1q3−q2q4)2(q1q2−q3q4)1−2q12−2q322(q2q3+q1q4)2(q1q3+q2q4)2(q2q3−q1q4)1−2q12−2q22]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢⎢1−2q22−2q232(q1q2−q3q4)2(q1q3+q2q4)2(q1q2+q3q4)1−2q21−2q232(q2q3−q1q4)2(q1q3−q2q4)2(q2q3+q1q4)1−2q21−2q22⎤⎦⎥⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1-2q_2^2-2q_3^2& 2(q_1{q}_2+q_3{q}_4)& 2(q_1{q}_3-q_2{q}_4)\\ 2(q_1{q}_2-q_3{q}_4)& 1-2q_1^2-2q_3^2& 2(q_2{q}_3+q_1{q}_4)\\ 2(q_1{q}_3+q_2{q}_4)& 2(q_2{q}_3-q_1{q}_4)& 1-2q_1^2-2q_2^2\end{array}\right]$$

GL​R=⎣ ⎡​1−2q22​−2q32​2(q1​q2​−q3​q4​)2(q1​q3​+q2​q4​)​2(q1​q2​+q3​q4​)1−2q12​−2q32​2(q2​q3​−q1​q4​)​2(q1​q3​−q2​q4​)2(q2​q3​+q1​q4​)1−2q12​−2q22​​⎦ ⎤​
即将世界坐标系下的点$P^G$旋转到局部坐标系下的点$P^L$
$$P^L={}_G^{L}R{P}^G$$
而
三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换 https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840中是将局部坐标系下的点$P^L$转换到世界坐标系下的$P^G$：
L G  ⁣ R = [ 1 − 2 q 2 2 − 2 q 3 2 2 ( q 1 q 2 − q 3 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 + q 2 q 4 ) 2 ( q 1 q 2 + q 3 q 4 ) 1 − 2 q 1 2 − 2 q 3 2 2 ( q 2 q 3 − q 1 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 − q 2 q 4 ) 2 ( q 2 q 3 + q 1 q 4 ) 1 − 2 q 1 2 − 2 q 2 2 ] {}_L^G\!R=

[1−2q22−2q322(q1q2−q3q4)2(q1q3+q2q4)2(q1q2+q3q4)1−2q12−2q322(q2q3−q1q4)2(q1q3−q2q4)2(q2q3+q1q4)1−2q12−2q22]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢⎢1−2q22−2q232(q1q2+q3q4)2(q1q3−q2q4)2(q1q2−q3q4)1−2q21−2q232(q2q3+q1q4)2(q1q3+q2q4)2(q2q3−q1q4)1−2q21−2q22⎤⎦⎥⎥$$\left[\begin{array}{ccc}1-2q_2^2-2q_3^2& 2(q_1{q}_2-q_3{q}_4)& 2(q_1{q}_3+q_2{q}_4)\\ 2(q_1{q}_2+q_3{q}_4)& 1-2q_1^2-2q_3^2& 2(q_2{q}_3-q_1{q}_4)\\ 2(q_1{q}_3-q_2{q}_4)& 2(q_2{q}_3+q_1{q}_4)& 1-2q_1^2-2q_2^2\end{array}\right]$$

LG​R=⎣ ⎡​1−2q22​−2q32​2(q1​q2​+q3​q4​)2(q1​q3​−q2​q4​)​2(q1​q2​−q3​q4​)1−2q12​−2q32​2(q2​q3​+q1​q4​)​2(q1​q3​+q2​q4​)2(q2​q3​−q1​q4​)1−2q12​−2q22​​⎦ ⎤​
$$P^G={}_L^{G}R{P}^L$$
这正好满足：
$${}_G^{L}R={{}_L^{G}R}^T({}_G^{L}R={{}_L^{G}R}^{-1})$$

近似

根据http://mars.cs.umn.edu/tr/reports/Trawny05b.pdf原文当$\delta \bar{q}$非常小时

以下为个人理解的推导
G L C ( q ˉ ) = ( 2 q 4 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 q 4 [ q × ] + 2 q q T ≈ ( 2 × 1 2 − 1 ) I 3 × 3 − 2 × 1 [ 1 2 δ θ × ] + 2 × 0 3 × 3 = I 3 × 3 − [ δ θ × ]

GL​C(qˉ​)​=(2q42​−1)I3×3​−2q4​[q×​]+2qqT≈(2×12−1)I3×3​−2×1[21​δθ×​]+2×03×3​=I3×3​−[δθ×​]​
其中$q{q}^T\approx 0_{3\times 3}$

四元数与轴角

还是参考http://mars.cs.umn.edu/tr/reports/Trawny05b.pdf，

q ˉ = [ q q 4 ] = [ q 1 q 2 q 3 q 4 ] = [ k x sin ⁡ ( θ / 2 ) k y sin ⁡ ( θ / 2 ) k z sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) ] = [ k ^ sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) ] , k ^ = [ k x , k y , k z ] T , q 4 = cos ⁡ ( θ / 2 ) \bar{q}=

===,\hat{\mathbf{k}}=[k_x,k_y,k_z]^T,q_4=\cos(\theta/2) qˉ​=[qq4​​]=⎣ ⎡​q1​q2​q3​q4​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​kx​sin(θ/2)ky​sin(θ/2)kz​sin(θ/2)cos(θ/2)​⎦ ⎤​=[k^sin(θ/2)cos(θ/2)​],k^=[kx​,ky​,kz​]T,q4​=cos(θ/2)

参考

文中已列出

完

如有错漏，敬请指正
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