剑指offer 47：礼物的最大价值

题目描述：

        在一个m×n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

如输入这样的一个二维数组，
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]

那么路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物，价值为12

示例1

输入：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

返回值：12

解法一：动态规划

思路：

        假设当前位于最右下角的一个格子，如果获取了这个礼物，则是加上来自左边累计的最大礼物价值与来自上边累计的最大礼物价值的较大值，这样获取的礼物价值才会更大，如果用dp[i][j]dp[i][j]表示从左上角到第i行第j列的格子总共能获取的最大价值，则转移方程为：

dp[i][j]=grid[i][j]+max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])

        同时因为在遍历的时候可以将累加的礼物价值的dp数组直接添加在原数组grid中，这样就能省下一个辅助空间。

代码：

import java.util.*;
 
 
public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 
     * @param grid int整型二维数组 
     * @return int整型
     */
    public int maxValue (int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        //第一列的值来自其上一个元素
        for(int i=1; i<m; i++){
            grid[i][0] += grid[i-1][0]; 
        }
        //第一行的值来自其左边临近的元素
        for(int i=1; i<n; i++){
            grid[0][i] += grid[0][i-1]; 
        }
        //遍历后续每个数组值
        for(int i=1; i<m; i++){
            for(int j=1; j<n; j++){
                grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[m-1][n-1];
    }
}

解法二：递归

思路：

        同解法一的分析，对于右下角这个位置，既可以选择来自左边的格子，也可以选择上边的格子。因此这个问题就可以从(m,n)分解成(m−1,n)与(m,n−1)这两个子问题，取子问题的最大值加上右下角这个礼物价值，因此可以用递归：

• 终止条件：到达左上角起点时候终止递归，即m=n=0；
• 返回值：子问题的较大值加上当前格子的礼物价值返回。
• 本级任务：判断是否矩阵遍历，进入子问题计算。

        步骤如下：

• step 1：使用一个二维辅助数组dp记录递归过程中的中间值。
• step 2：递归时先判断是否到起点与是否到边界，边界只有一条递归路线。
• step 3：如果dp数组中中有记录的值，直接返回，否则进入子问题求解后加到数组中。

代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    private int recursion(int[][] grid, int m, int n, int[][] dp){
        //到达起点
        if(m == 0 && n == 0){
            dp[0][0] = grid[0][0];
            return grid[0][0];
        }
        //两个边界
        if(m == 0)
            dp[0][n] = grid[0][n] + recursion(grid, m, n - 1, dp);
        if(n == 0)
            dp[m][0] = grid[m][0] + recursion(grid, m - 1, n, dp);
        //如果有值可以直接返回
        if(dp[m][n] == 0)
            //递归求左边或者上边的最大值
            dp[m][n] = grid[m][n] + Math.max(recursion(grid, m - 1, n, dp), recursion(grid, m, n - 1, dp));
        return dp[m][n];
    }
    public int maxValue (int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        //用于记忆递归过程中的值
        int[][] dp = new int[m][n];
        return recursion(grid, m - 1, n - 1, dp);
    }
}