让数学公式自动推导

合集 - manim动画(43)

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33.让数学公式自动推导05-17

34.切线的魔法：用 SymPy 和 Manim 轻松搞定导数动画05-1935.填充与积累：积分与面积的可视化05-2136.轨迹的蓝图：方程求解与交点计算05-2337.Manim物理模拟：别自己写欧拉了！05-2538.用 SymPy 解决 Manim 曲线绘制速度不均的问题06-0139.一次函数图像工厂：用 SymPy 自动生成 y=kx+b 对比动画06-0340.用SymPy自动计算抛物线求根、判别式与顶点06-0541.用SymPy自动求解三角形构造与全等条件验证06-0842.用SymPy自动求解追及问题的方程06-1043.用SymPy自动因式分解：从面积拼图到代数恒等式06-13

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我们在做数学公式推导的视频时，比如，想展示一个因式分解： $ x^2+2x+1 $ 变成 $ (x+1)^2 $ 的，或者反过来因式展开，都需要手动计算分解或展开后的结果。

然后再做一个切换动画。

expr1 = MathTex("x^2 + 2x + 1")
expr2 = MathTex("(x + 1)^2")
self.play(Transform(expr1, expr2))

简单的公式可以手动去做，如果公式稍微复杂呢？比如：

• $ x^3-6x2+11x-6 $ 可分解成：$ (x-1)(x-2)(x-3) $
• $ 2x^3 + 4x^2-30x $ 可分解成：$ 2x(x-3)(x+5) $
• ... ...

这几个公式就不是那么容易分解了，我们制作公式变换的数学动画，或者绘制函数图像时，肯定不想把时间花在这些数学推导上。

那么，把 SymPy 引进了 Manim 的动画制作中—— 一切都变了。

1. 痛点还原：手动推导

假设我们要展示从 $ (x+2)(x-3) $ 展开到 $ x^2-x-6 $ 的过程。

传统做法会这样写：

# 原始因式
expr_origin = MathTex("(x + 2)(x - 3)")

# 手动计算中间步骤（心算 or 草稿纸）
# ... ...

# 合并同类项
expr_result = MathTex("x^2 - x - 6")

# 然后动画切换切换...
self.play(Transform(expr_origin, expr_result))

问题显而易见：

• 容易算错（特别是系数复杂时）
• 无法自动化（换个新公式就得重写代码）
• 缺乏动态生成的灵活性

我们真正需要的是一个能自动处理代数变形，并且把结果无缝喂给 Manim 的管道。

2. SymPy 登场：代数变形的“发动机”

SymPy 是 Python 的符号计算库，简单说就是能让计算机帮你推导数学公式。

核心武器：expand() 和 factor()

from sympy import symbols, expand, factor, latex

x = symbols("x")

# 原始表达式：因式形式
expr_factored = (x + 2) * (x - 3)

# 一键展开！
expr_expanded = expand(expr_factored)
print(expr_expanded)  # 输出：x**2 - x - 6

# 再一键因式分解！
expr_back = factor(expr_expanded)
print(expr_back)  # 输出：(x - 3)*(x + 2)

expand() 方法可以帮助我们将因式展开；

factor() 方法则是分解因式。

SymPy 不仅能返回计算结果，还能生成 LaTeX 字符串，这正是 Manim 渲染公式需要的格式：

from sympy import latex

latex_code = latex(expr_expanded)
print(latex_code)  # 输出：x^{2} - x - 6

有了这个“发动机”，我们只需要告诉 SymPy 起点和终点，中间的所有代数变形它都能自动计算。

3. Manim 联动实战：让公式自动推导

下面通过一个曲线绘制的示例来演示 SymPy 如何让 Manim 动画更加简单。

为了能够绘制曲线的方法能够通用，我们封装几个函数：

from sympy import symbols, sympify, solve, Eq, latex, lambdify

def plot_function_curve(axes, equation_str, x_range, plot_range):
    """
    绘制函数曲线

    Args:
        axes: 坐标系对象
        equation_str: 方程字符串，如 "x**2 - x - 6"
        x_range: 绘图 x 范围，如 [-3.5, 4.5]
        plot_range: 用于 sympy 求解的 x 范围

    Returns:
        graph: 曲线对象
        graph_label: 曲线标签
    """
    x = symbols("x")
    expr = sympify(equation_str)

    # 创建可调用函数
    f = lambdify(x, expr, modules="numpy")

    # 绘制曲线
    graph = axes.plot(f, x_range=x_range, color=YELLOW, stroke_width=3)

    # 创建标签
    graph_label = axes.get_graph_label(
        graph, label=f"f(x)={latex(expr)}", x_val=x_range[1], direction=UP * 3
    )

    return graph, graph_label

def find_roots(equation_str):
    """
    使用 SymPy 求解方程的根

    Args:
        equation_str: 方程字符串，如 "x**2 - x - 6"

    Returns:
        roots: 实数根列表
    """
    x = symbols("x")
    expr = sympify(equation_str)

    # 求解方程 f(x) = 0
    solutions = solve(Eq(expr, 0), x)

    # 只保留实数根
    roots = []
    for sol in solutions:
        if sol.is_real:
            roots.append(float(sol))

    return roots


def create_root_markers(axes, roots):
    """
    创建零点标记和标签

    Args:
        axes: 坐标系对象
        roots: 根的列表

    Returns:
        root_dots: 零点标记组
        root_labels: 零点标签组
    """
    root_dots = VGroup()
    root_labels = VGroup()

    for rx in roots:
        # 在零点处画点
        dot = Dot(axes.c2p(rx, 0), color=RED, radius=0.1)
        # 添加坐标标签
        label = MathTex(f"({rx}, 0)", font_size=30, color=RED).next_to(dot, UP * 0.5)
        root_dots.add(dot)
        root_labels.add(label)

    return root_dots, root_labels

其中：

1. plot_function_curve：根据曲线方程的字符串（比如"x**2 - x - 6"）来绘制曲线
2. find_roots：求解曲线方程的根，也就是和曲线和 X 轴的交点
3. create_root_markers：把曲线方程的根标记出来

有了上面封装的函数，绘制一个曲线的动画代码就非常简洁了。

class PlotQuadraticFunction(Scene):
    def construct(self):
        # 1. 创建坐标系
        axes = Axes(
            x_range=[-4, 5, 1],  # x 轴范围：-4 到 5，步长 1
            y_range=[-8, 10, 2],  # y 轴范围：-8 到 10，步长 2
            x_length=8,
            y_length=6,
            axis_config={"color": BLUE, "include_numbers": True, "font_size": 24},
            x_axis_config={"numbers_to_include": range(-4, 6)},
            y_axis_config={"numbers_to_include": range(-8, 11, 2)},
        )
        axes_labels = axes.get_axis_labels(x_label="x", y_label="f(x)")

        # 定义方程
        equation = "x**2 - x - 6"

        # 绘制函数图像
        graph, graph_label = plot_function_curve(
            axes, equation, x_range=[-3.5, 4.5], plot_range=[-4, 5]
        )

        # 使用 SymPy 求解零点
        roots = find_roots(equation)

        # 创建零点标记
        root_dots, root_labels = create_root_markers(axes, roots)

        # 动画展示
        self.play(Create(axes), Write(axes_labels))
        self.wait()

        self.play(Create(graph), Write(graph_label))
        self.wait()

        self.play(
            LaggedStart(
                *[Create(dot) for dot in root_dots],
                *[Write(label) for label in root_labels],
                lag_ratio=0.3,
            )
        )
        self.wait()

上面的代码看着长，其实关键的就一行：equation = "x**2 - x - 6"。

其他部分都是渲染坐标系，创建各种元素的动画等等。

生成的效果如下：

使用 SymPy 中核心的几个方法如下：

• sympify：比如，expr = sympify(equation_str)将曲线方程的字符串转换成 SymPy 中的符号公式
• lambdify：SymPy 中的符号公式转换为 Python 函数（供 Manim 绘制曲线用）
• latex：比如，latex(expr)，将SymPy 中的符号公式转换为 Manim 中显示公式的 Latex 格式
• solve：solve(Eq(expr, 0), x)，求解方程的根，也就是动画中标记的与 X 轴的交点

只从上面示例中的代码，可能还看不出来上 SymPy 和 Manim 结合的威力。

这时候，如何我们还想绘制另一个曲线，$ x^3-6x2+11x-6 $，那么，只要改一行代码就行了。

equation = "x**2 - x - 6" 改成 "x**3 - 6*(x**2) +11*x - 6"

这里显示的有点重叠，我们可以根据曲线显示的情况，调整下坐标系或曲线参数的范围。

axes = Axes(
    x_range=[-2, 5, 1], 
    # ...
    x_axis_config={"numbers_to_include": range(-1, 6)},
    # ...
)

# 绘制函数图像
graph, graph_label = plot_function_curve(
    axes, equation, x_range=[-1, 4.5], plot_range=[-1, 5] # 调整了这里的范围
)

4. 小结

本文主要内容如下：

• 痛点认知：手动推导公式既低效又容易出错。
• SymPy 核心技能：expand() 展开、factor() 因式分解、latex() 转换。
• Manim 联动套路：SymPy 算 → LaTeX 转 → Manim 渲染。

任何代数方程的因式变化或曲线函数都可以自动化生成，我们可以把精力集中在动画节奏和视觉设计上。