线性代数笔记21--对角化、A的幂

1.对角化

对于矩阵$A$,我们假设有$n$个向量。
将他们放置在一起组成矩阵$S$。

$$AS=A[X_1{X}_2...X_n]=[{\lambda }_1{X}_1{\lambda }_2{X}_2...{\lambda }_n{X}_n]=[X_1{X}_2...X_n]\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& & & & \\ & {\lambda }_2& & & \\ & & {\lambda }_3& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$
我们把$n$个特征值的方程称为
$$\Lambda$$
则
$$AS=S\Lambda$$
若$S$可逆，即使$A$存在$n$个独立特征根。
$$A=S\Lambda S^{-1}$$
这种形式叫做施密特格拉姆正交化。
有什么用呢？可以来简化幂次的运算罢了。

假设$A$有特征值$\lambda$
$$\begin{gathered} AX=\lambda X \\ {A}^{2}X=AAX=A\lambda X=\lambda AX=\lambda \lambda X={\lambda }^{2}X \end{gathered}$$
所以$A^k$的$n$个特征值对应$A$的$n$个特征值的$k$次方。

对于$A^2$
$$A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S{\Lambda }^2{S}^{-1}$$
再推广可得
$$A^k=S{\Lambda }^k{S}^{-1}$$

2. A的幂

$A^k\to 0ask\to \infty$
这样的矩阵我们称为稳定的矩阵。

矩阵稳定条件，若有$n$个独立特征向量；
即可以施密特格拉姆正交化
$$A=S\Lambda S^{-1}$$
需要满足
$$\forall |{\lambda }_i|<1,1\le i\le n$$

特征值与矩阵可正交化关系

1. 如果矩阵$A$存在$n$个互不相同的特征值则，$A$必然有$n$个独立的特征向量
2. 如果矩阵$A$存在重复的特征根，则$A$可能但不一定存在$n$个线性无关特征向量
   2.1举例子单位矩阵
   2.2 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right],\lambda =2,X=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

3. $A^k$的应用

引入
求解
$$u_{k+1}=A{u}_k$$
如果已知$u_0$，我们可以推导
$$\begin{gathered} u_1=A{u}_0 \\ {u}_2=A{u}_1=A^2{u}_0 \\ \cdots \\ {u}_k=A^k{u}_0 \end{gathered}$$
我们把$u_0$分解到$S$的列空间上
$$\begin{gathered} u_0=c_1{X}_1+c_2{X}_2+\cdots +c_n{X}_n \\ Sc=u_0 \end{gathered}$$
乘上$A$
$$A{u}_0=c_{1}A{X}_1+cA{X}_2+\cdots +c_n{X}_n$$
化为$\lambda$形式
$$\begin{gathered} A{X}_k={\lambda }_k{X}_k \\ A{u}_0=c_1{\lambda }_1{X}_1+c_2{\lambda }_2{X}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n{X}_n \end{gathered}$$
重复上面两步$k$次得到
$$\begin{gathered} A^{k+1}{u}_0=c_1{\lambda }_1^k{X}_1+c_2{\lambda }_2^k{X}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n^k{X}_n \\ {A}^{k+1}{u}_0={\Lambda }^{k}Sc={\Lambda }^k{u}_0 \end{gathered}$$

3.1 求解斐波拉契通项公式

$Fibonacci$数列：$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$，求第$F_{100}?$
我们令
$$\begin{gathered} u_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right] \\ {u}_{k+1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]u_k \\ {u}_{k+1}=A^k{u}_0 \end{gathered}$$
根据数列我们可以知道
$$u_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
将它化成分散到$A$的列空间上
$$\begin{gathered} u_0=c_1{X}_1+c_2{X}_2+c_3{X}_3+\cdots +c_n{X}_n \\ {u}_0=Sc \end{gathered}$$
将上式带入$u_{k+1}=A^k{u}_0$
$$u_{k+1}=A^{k}Sc$$
由$AS=S\Lambda$得到
$$u_{k+1}=S{\Lambda }^{k}c$$
只需要求得特征向量和特征矩阵和将$u_0$放入$S$列空间中即可求出值

特征值计算
$$\begin{gathered} det\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]=0 \\ {\lambda }^2-\lambda -1=0 \end{gathered}$$
特征向量为
$$X=\left[\begin{array}{c}\lambda \\ 1\end{array}\right]$$
求得两个特征值为
$$\begin{gathered} {\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ {\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$
所以对应特征向量矩阵$S$
$$S=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right]$$
再根据克拉默法则可求得$Sc=u_0$中$c$
$$c=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]$$
特征值矩阵$\Lambda$为
$$\Lambda =\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$
对于我们构造的矩阵$u_{k+1}$
$$\begin{array}{rl}{u}_{k+1}=A^k{u}_0=S{\Lambda }^{k}c& =\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^k& 0\\ 0& (\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{k+1}& (\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^{k+1}\\ (\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^k& (\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{5}}\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]\end{array}$$
由此可以得到$fibonacci$的通项公式
$$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\right(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^k\right]$$

4. 勘误

Lec22视频32:34推导的公式
$$\begin{gathered} 应为S{\Lambda }^{k}c而非{\Lambda }^{k}Sc \\ {u}_{k+1}=A^k{u}_0 \\ AS=S\Lambda \\ {u}_{k+1}=S{\Lambda }^{k}c \\ \Lambda S\ne S\Lambda ,\Lambda \ne I\wedge \Lambda \ne S^{-1} \end{gathered}$$