数据结构--算法的时间复杂度和空间复杂度

1. 算法效率

如何衡量一个算法的好坏

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
long long Fib(int N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
1
2
3
4
5
6
7

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

2. 时间复杂度

概念

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

//请计算一下Func1中count++语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			count++;
		}
	}

	for(int k = 0; k < 2 * N; k++)
	{
		count++;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

Func1执行的基本操作次数：

F(N)=N^2 + 2*N +10

• N=10 F(N)=130
• N=100 F(N)=10210
• N=1000 F(N)=1002010

实际中我们使用计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我使用大O的渐进表示法。

大O渐进表示法

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶存在且不是1，则去除这个项目相乘的常数。得到的结构就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O(N^2)

• N=10 F(N)=100
• N=100 F(N)10000
• N=1000 F(N)=1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入国模的最小运行次数（下界）

例如：在一个输入规模的最小运行次数（下界）

最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2找到

实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见的时间复杂度计算举例

实例1：

计算Func2的时间复杂度

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; K++)
	{
		count++;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

执行了2N+10次，时间复杂度为：O(N)

实例2：

计算Func3的时间复杂度

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; k++)
	{
		count++;
	}

	for (int k = 0; k < N; k++)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

0(M+N)->O(N)
条件中：M远大于N，可以写成O(M) ; N远大于M，可以写成O(N)

实例3：

计算Func4的时间复杂度

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; k++)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n", count);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9

时间复杂度为O(1)

注意：0(1)并不是代表1次，代表常数次

实例4：

计算strchr的时间复杂度

const char* strchr(const char* str, int character);
1

看最坏次数，时间复杂度为O(N)

实例5：

计算BubbleSort的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for(size_t end=n;end>0;end--)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; i++)
		{
			if(a[i-1]>a[i])
				{
					Swap(&a[i-1],&a[i]);
					exchange=1;
				}
		}
		if (exchange == 0)
		{
			break;
		}
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

执行了(N*(N+1))/2次，时间复杂度一般看最坏为0(N^2)

实例6：

计算BinarySearch的时间复杂度

int BinarySearch(int* a, int n; int x)
{
	assert(a);

	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - bengin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			bengin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

二分查找的本质是缩小区间，最开始是N个数，找一次缩小一半
N/2/2…/2==1

最开始区间个数是N，找一次做小一般，那就是除2，找了多少次呢？
N=2^x
x=log以2为底的N

时间复杂度O(logN）

实例7：

计算阶乘递归Fac的时间复杂度

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}
1
2
3
4
5
6

时间复杂度为O(N)

实例8：

计算斐波那契数递归Fib的时间复杂度

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 3
		return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
1
2
3
4
5
6

时间复杂度为0(2^N)

3. 空间复杂度

概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数，空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些存储器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

实例1：

计算BubbleSort的空间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for(size_t end=n;end>0;end--)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; i++)
		{
			if(a[i-1]>a[i])
				{
					Swap(&a[i-1],&a[i]);
					exchange=1;
				}
		}
		if (exchange == 0)
		{
			break;
		}
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

空间复杂度为O(1)

实例2：

计算Fibonacci的空间复杂度

long long* Fibonacci(size_t n) {
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray; }
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

空间复杂度为：O(N)

实例3：

计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

long long Fac(size_t N) {
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N; }
1
2
3
4
5

空间复杂度为O(N)

4. 常见的时间复杂度以及复杂度OJ练习

消失的数字

点击跳转

方法1：
计算0-N累加和，累加和一次减数组中值
时间复杂度为O(N)

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int n = numsSize;
    int ret = n*(n+1)/2;
	for(int i=0;i< numsSize;i++)
	{
	ret -=nums[i];
	}
	return ret;
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

方法2：
x先和0-N所有值异或，再跟数组中值异或
时间复杂度O(N)

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int x =0;
    int n=numsSize;

    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        x^=i;
    }

    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        x^=nums[j];
    }

    return x;
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

轮转数组

点击跳转