• (done) 什么是特征值和特征向量？如何求特征值的特征向量 ？如何判断一个矩阵能否相似对角化？

    什么是齐次方程？ https://blog.csdn.net/shimly123456/article/details/136198159

    行列式和是否有解的关系？ https://blog.csdn.net/shimly123456/article/details/136198215

    特征值和特征向量 参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1vY4y1J7gd/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

    一个求特征值和特征向量 (手算，还包括矩阵相似对角化) 的例子：https://www.bilibili.com/video/BV14T4y127jf/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

    一个更详细的求特征值和特征向量（手算，提到了“自由未知量”）例子：https://www.bilibili.com/video/BV1Js4y1372V/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=7a1a0bc74158c6993c7355c5490fc600

    在这里插入图片描述

    把矩阵 A 作为一个对向量的映射，x1 矢量在经过 A 映射后变换了方向，x2 经过 A 映射后保持原来的方式，只是长度发生了变化 (长度变换可以是负数，也就是 x2 方向变相反了也不影响)。像 x1 这种向量就不是 矩阵A 的特征向量；x2 这种向量就是矩阵 A 的特征向量

    由于 矩阵A 对特征向量 x2 只起到了伸缩作用，那么就可以写下式子 (lamda 是一个常数、标量)
    Ax2 = (lamda) * x2

    在这里，(lamda) 就是特征值，x2 就是特征向量

    所以，特征向量的严格定义就是：只要一个向量 x2 可以写成 Ax2 = (lamda) * x2。那么 lamda 就是矩阵 A 的特征值，x2 就是矩阵 A 的特征向量

    一个矩阵可以有多个特征值和特征向量，如下图为例：
    在这里插入图片描述

    图片可以经过线性变化（或者说，矩阵乘法）进行翻转，只要把图片上的每一个像素点视为一个矢量，然后让它们乘以翻转矩阵即可。

    在这里，经过翻转矩阵映射后，图片左右翻转了，每一个像素点(即，矢量) 在纵轴上的方向没有变化，所以有纵特征向量 x1，在横轴上的方向变反了，所以有横特征向量 x2。x1 和 x2 的特征值分别是 1 和 -1

    接下来，我们看看特征值和特征向量的严格数学计算
    在这里插入图片描述

    如果看不懂，可以再看一遍参考视频，也就 6min，不长

    以下是一个求特征值、特征向量，从而把矩阵相似对角化的例子：
    在这里插入图片描述

    当 lamda1 = lamda2 = 2 时，我们发现求出的矩阵只有一个非零行，那么也就是说它的 “自由未知量” 是 2。
    这其实暗含了 “我们能够得到两个线性无关非零解” 的意思，也就说这个矩阵是可以相似对角化的
    在这里插入图片描述

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