【Python数据结构与算法】--- 递归算法应用-五行代码速解汉诺塔问题.

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汉诺塔

两层汉诺塔的演示 

三层汉诺塔的走法演示

我不知道有没有朋友跟我一样有一个疑问,如果我们顶端的先放到中间柱子呢? 

但是实际上汉诺塔问题解决方案都是最优解,我们不走弯路,我们的目的性非常强,我们最终目的都是移动到c,所以我们可以先让顶端的木块直接到c 

解题思路:

不妨将这个问题拆解,n个汉诺塔,我们可以把最底下最大那个看成单独的一个,上面的(n - 1)个,看成一个整体.这样子最底下那个可以直接从 A 移动到 C,剩下上面的 ( n - 1 ) 个汉诺塔我们可以先从A 通过 C 移动到 B . 再从B通过 A 移动到 C.  

这样子不断进行递归,问题规模就可以逐层减小.

代码:

def hanoi(n,a,b,c):#n为层数 a,b,c是杆子
    if n>0:
        #将中间 n - 1 个盘子当成一个整体,通过c盘从a移动到b盘
        hanoi(n-1,a,c,b) # 中间柱子变目标
        print("Moving  from %s to %s" %(a,c)) # 对应一个柱子的时候
        hanoi(n-1,b,a,c) # 最后一个柱子变成目标
 
hanoi(1,"A","B","C")

 运行结果:

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青蛙跳台阶 

 

总结一下规律:

我们可以发现

跳  n 个台阶的台阶数对应的跳法 = 跳 (n - 1)个台阶时候的跳法 + 跳 (n - 2)个台阶时候的跳法. 

这有点像我们的斐波那契数列.

青蛙跳台阶的问题相当于动态规划的问题 .

动态规划:用上一步的结果,来快速计算得到下一步的结果.

递归的思路:

当只有1个台阶时，只有一种跳法；当有2个台阶时，有两种跳法；当台阶数大于2时，青蛙可以选择跳一步到第n-1个台阶，也可以选择跳两步到第n-2个台阶，所以总的跳法数是跳到第n-1个台阶的跳法数加上跳到第n-2个台阶的跳法数。

这里是青蛙跳台阶的Python递归实现：

def frog_jump(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        return frog_jump(n-1) + frog_jump(n-2)

其中，n表示台阶数，函数返回青蛙跳到第n个台阶的跳法数。

需要注意的是，这种递归实现虽然简单易懂，但是时间复杂度为指数级别的，所以不能用于大规模的数据处理。