PT_独立事件

abstract

• 独立事件的概念和性质
• 多事件($n>2$)两两独立和相互独立的区别

独立事件@事件的独立性

事件独立简介

• 直观理解就是,$A,B$事件的发生互不影响(干扰)
  • 知道了A发生不影响B的发生,
  • 知道B的发生也不影响A的发生
  • 我们可以用条件概率来描述上述两点条件
• 设$A,B$是试验$E$的两件事,若$P(A)>0$,则可以定义$P(B|A)$
• 一般,$A$的发生对$B$发生的概率有影响,这时$P(B|A)\ne P(B)$,只有在这种影响不存在时才有$P(B|A)=P(B)$,
• 这时有$P(AB)$=$P(B|A)P(A)$=$P(A)P(B)$
• 对于事件$A,B$如果:
  • $P(B|A)=P(B)$(1)
  • $P(A|B)=P(A)$(2)
  • 满足上述条件事件$A,B$称为独立事件
  • Note:
    • $P(B|A)$=$\frac{P(BA)}{P(A)}$(1.1)
    • $P(A|B)$=$\frac{P(AB)}{P(B)}$(2.1)
    • 也就是说这两个等式分别要求$P(A)>0$,$P(B)>0$
  • (1),(2)分别代入(1.1),(2.1)均可得到:$P(AB)=P(A)P(B)$(3)
  • 式(3)不要求$P(A)>0$或$P(B)>0$,从而有以下更一般的定义

独立事件定义

• 若事件$A,B$满足等式$P(AB)=P(A)P(B)$,则$A,B$事件为相互独立事件

独立事件判定定理

定理1

• 设$A,B$是两件事,$P(A)>0$;若$A,B$相互独立,则$P(B|A)=P(B)$,反之亦然
  • 设$A,B$是两件事,$P(A)>0$;若$P(B|A)=P(B)$,则$A,B$相互独立
• 证明:
  • 结合简介中的介绍,定理显然成立
  • $A$的发生($P(A)>0$)不影响$B$的发生;这里强调了$P(A)>0$,
  • 否则$P(A)=0$,即$A$根本不发生,那么$AB=\varnothing$,从而$P(AB)=P(A)P(B)=0$
• 若$P(A)=0$或$P(B)=0$,则$P(AB)=P(\varnothing )=0$,从而$P(AB)=P(A)P(B)=0$一定成立,从而$A,B$一定相互独立

定理2

• 若$P(B|A)$=$P(B|\overline{A})$,则$A,B$相互独立
• 证明:因为$A$是否发生都,$B$发生的概率都是一样的,从而$A,B$相互独立
• 证法2:
  • 设$P(A),P(B)>0$
    • $P(B|A)$=$P(AB)/P(A)$;$P(B|\overline{A})$=$P(\overline{A}B)/P(\overline{A})$;则$P(AB)P(\overline{A})$=$P(\overline{A}B)P(A)$
    • 所以$P(AB)P(\overline{A})$=$P(AB)(1-P(A))$=$P(AB)-P(AB)P(A)$
    • $(AB)(\overline{A}B)=\varnothing$,$P(AB)=P(A)(P(AB)+P(\overline{A}B))$=$P(A)P((A\cup \overline{A})B)$=$P(A)P(B)$
    • 即$A,B$相互独立
  • 若$P(A)=0$或$P(B)=0$则$A,B$一定独立

多事件间独立👺

• 定义:事件集合 S = {   A i ∣ i ∈ I   } S=\set{A_i|i\in I} S={Ai​∣i∈I}, I = {   1 , 2 , … , n   } I=\set{1,2,\dots,n} I={1,2,…,n},若对于任意的 k ∈ {   2 , ⋯   , n   } k\in\set{2,\cdots,n} k∈{2,⋯,n},都有:$P(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j})$=${\prod }_{j=1}^{k}P(A_{i_j})$(1),则$A_1,\cdots ,A_n$互为相互独立事件

• Notes:

  • 可见多个事件间的相互独立的定义比双事件独立要复杂
  • 这里的$k(1<k⩽n)$用来描述要从事件集合S中选择出$k$个事件$A_{i_1},\cdots ,A_{i_k}$

• $n$事件相互独立要求成立的(1)形等式数

  • 由于$n$个事件中任意$k$个事件的方法数有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$种,这也$k$个事件下需要成立的等式数

  • 又由于$k$要取遍$2,\cdots ,n$,所以,需要从成立的等式数为:$\sum _{k=2}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$=$(1+1{)}^n-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})$=$2^n-n-1$

  • 可见,如果从定义直接判断$n(n⩾3)$个事件是相互独立的是和繁琐的

  • 独立事件这个概念至少要涉及两个事件

$n$个事件两两独立不一定相互独立

• $n$个事件两两独立至少相互独立的必要条件

• 例如抛硬币2次,观察正(H)反(T)面的试验

  • 样本空间 S = {   H H , H T , T H , T T   } S=\set{HH,HT,TH,TT} S={HH,HT,TH,TT}
  • 令: A = {   H H , H T   } , B = {   H H , T H   } , C = {   H H , T T   } A=\set{HH,HT},B=\set{HH,TH},C=\set{HH,TT} A={HH,HT},B={HH,TH},C={HH,TT}
  • 则 A B = A C = B C = A B C = {   H H   } AB=AC=BC=ABC=\set{HH} AB=AC=BC=ABC={HH}
  • $P(A)=P(B)=P(C)$=$\frac{1}{2}$
  • $P(AB)=P(AC)=P(BC)=\frac{1}{4}$
  • 容易看到$P(AB)=P(A)P(B)$;$P(AC)=P(A)P(C)$;$P(BC)=P(B)P(C)$
  • 即$A,B,C$两两独立(任意两件事相互独立)
  • 但是$P(ABC)=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)$,根据相互独立的定义,$A,B,C$不是相互独立
  • 事实上,虽然仅当$A$或仅当$B$发生时不会影响到$C$的发生,但是$AB\subset C$,因此当$A,B$同时发生的时候,$C$必然发生,导致$A,B,C$不满足相互独立

• 总之,考虑多个事件间的相互独立,不仅需要考虑两两相互独立,还要考虑所有2个及以上的事件同时发生时仍然不会影响到其他事件发生,才能说$n$个事件相互独立

判断多事件间的独立性

• 因此,独立性更多的是通过实际意义来判断
• 例如,经典的投硬币问题,$n$次重复投的试验间是相互独立的

性质

相互独立和两两独立

• 若$A_1,\cdots ,A_n$相互独立,由定义可知$A_1,\cdots ,A_n$必然两两独立;
  • 其逆命题不成立
  • $A_1,\cdots ,A_n$中任意$k$个事件$A_{i_1},\cdots ,A_{i_k}$构成的部分事件组的各事件间也相互独立

独立性的派生独立事件组🎈

• 设关系式$P(XY)=P(X)P(Y)$(1)

  • 对于 X ∈ {   A , A ‾   } X\in\set{A,\overline{A}} X∈{A,A}; Y ∈ {   B , B ‾   } Y\in\set{B,\overline{B}} Y∈{B,B}
  • 如果有一组$X,Y$取值使得$\alpha$成立,那么任意X,Y也能够使得$\alpha$成立

• 换种说法:

  • $(A,B),(A,\overline{B}),(\overline{A},B),(\overline{A},\overline{B})$ 这4对事件组中,任意一组事件组内事件相互独立,则可以推断其他3组各组内的两个事件也相互独立

• 证明1:这个证明中,我们首先证明结论中的一部分,将重复运用阶段性结论,快速完成结论其他部分的证明推理

  1. 先证$A,\overline{B}$相互独立

     • 因为$A=A\Omega =A(B\cup \overline{B})$=$AB\cup A\overline{B}$;显然$(AB)(A\overline{B})=\varnothing$,从而$P(A)$=$P(AB\cup A\overline{B})$=$P(AB)+P(A\overline{B})$
     • 因为$P(AB)$=$P(A)P(B)$,所以$P(A)=P(A)P(B)+P(A\overline{B})$
     • 所以$P(A\overline{B})$=$P(A)(1-P(B))$=$P(A)P(\overline{B})$,从而$A,\overline{B}$相互独立

  2. 再证$\overline{A},\overline{B}$相互独立

     • 由(1)中的已证明结论:若$A,B$相互独立,则$A,\overline{B}$相互独立
     • 既然$A,B$相互独立,则$A,\overline{B}$相互独立
     • 对相互独立的$\overline{B},A$运用上述结论,可直接得到$\overline{B},\overline{A}$相互独立

  3. 由结论(2),$A,B$相互独立可推出$\overline{A},\overline{B}$相互独立;再对$\overline{A},\overline{B}$运用结论(1),得$\overline{A},\overline{\overline{B}}$相互独立,从而$\overline{A},B$相互独立

• 证明2:

  • 我们可以利用减法公式:

  • $$\begin{gathered} P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB) \\ =P(A)-P(A)P(B) \\ =P(A)(1-P(B)) \\ =P(A)P(\overline{B}) \\ 即证明了A,\overline{B}独立性 \end{gathered}$$

  • 类似的手法,可以证明其他情况

推广

• 推广:若$A_1,\cdots ,A_n$相互独立,则其中的任意$k$个事件或其派生事件$(A_{i_1}),\cdots ,(A_{i_k})$间相互独立(其中$(A_i)$表示$A_i$或$\overline{A_i}$)
  • 这个结论对$k=n$成立,自然也对$k=2,\cdots ,n-1$都成立
• 若需要判断$(A_1),\cdots ,(A_n)$是否相互独立,则只需要判断$A_1,\cdots ,A_n$是否相互独立即可
• 例如,判断$\overline{A_1},\overline{A_2},\overline{A_3}$,或$\overline{A_1},A_2,\overline{A_3}$是否相互独立,都等价于判断$A_1,A_2,A_3$是否相互独立

事件相互独立充分不必要条件👺

• 在连续形概率模型中,事件$A$发生概率为0不同于$A$不可能发生,类似的,发生概率为$1$的事件不一定是必然事件
• 这个特点比较抽象,从积分的角度理解

概率为0的事件和所有事件相互独立

• 设$P(A)=0$,因为$AB\subset A$,以及概率的非负性:$0⩽P(AB)⩽P(A)=0$,即$P(AB)=0$

• 所以$P(AB)=P(A)P(B)$,即$A,B$相互独立

• 推论:不可能事件的恒独立性

  • 因为不可能事件$\varnothing$发生概率$P(\varnothing )=0$,所以不可能事件和所有事件相互独立

• 概率为0的事件$\varnothing$和任何事件$A$同时互斥且独立

  • 因为$A\varnothing =\varnothing$,所以:$P(A\varnothing )=0$;
  • 又$P(A)P(\varnothing )=0$,所以$P(AB)=P(A)P(B)$

概率为1的事件和所有事件相互独立

• 若$P(B)=1$,则$P(\overline{B})=0$,$\overline{B}$与任何事件相互独立,则$B$也和任何事件相互独立

推论:必然事件与任意其他事间相互独立

• $P(SA)=P(A)$,且$P(S)=1$,所以$P(SA)=P(S)P(A)$

互斥事件和独立事件关系

• 若$A,B$互斥($AB=\varnothing$),则$P(AB)=P(\varnothing )=0$

• 对于两个正概率($P(A),P(B)>0$)事件:

  • 若A,B相互独立,则$P(AB)=P(A)P(B)>0$,
  • 而$P(AB)=0$是$A,B$互斥的必要条件
  • 说明:若正概率事件$A,B$独立,则$A,B$必不互斥,即相互排斥和相互独立仅成立其中的一种关系

• 综上

  • $P(A)P(B)>0$时:

    • $A,B$相互独立和相互斥两类事件关系中至多只有一类会成立;即,不可能同时成立

  • 当事件$P(A)P(B)=0$时,则$P(A)=0$,$P(B)=0$至少成立一个,即$A,B$至少一个是$\varnothing$,从而$AB=\varnothing$

    • 因此$P(AB)=P(A)P(B)=0$,从而$A,B$即互斥又独立

  • 事实上,两个事件是互斥关系的说明它们包含了不独立而是有联系的:即知道$A$发生则与其互斥的事件$B$一定不发生,这就否定了$A,B$相互独立不影响

独立事件间积事件概率的计算公式🎈

• 从独立事件间的积事件的概率公式计算公式:

  • $$P(\bigcap _{i=1}^n{A}_i)=\prod _{i=1}^{n}P(A_i)$$

例

• 从这个公式上看,独立重复试验如果反复进行,会是什么样的?

  • 假设某个试验E成功(记为A),任意一次试验成功的概率为$\epsilon >0$

    • $0<\epsilon ⩽1$
    • $1-\epsilon <1$

  • $A_i$:第$i$次试验成功, P ( A i ) = ϵ , i ∈ {   1 , ⋯   , n   } P(A_i)=\epsilon,i\in \set{1,\cdots,n} P(Ai​)=ϵ,i∈{1,⋯,n}

  • 那么n次试验都不成功的概率可以表示为:

  • $$\begin{gathered} P(\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i})=\prod _{i=1}^{n}P(\overline{A_i})=(1-\epsilon {)}^n \\ 容易知道:\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\epsilon {)}^n=0 \end{gathered}$$

  • 可见$n\to \infty$时,发生概率再小的独立事件(只要概率大于0),也几乎无法避免地必会发生

  • 不发生的概率趋近于0,那么发生的概率就趋近于1(一定发生)

  • 当$ϵ$很小,如果只作一次试验,发生的概率相应的很小;但是如果作足够多次的试验,那么$n$次内发生至少1次的概率就变得足够大,甚至接近1

  • 这个结论告诉我们,智者千虑必有一失,多行不义必自毙

计算技巧

• 一般的,利用独立性计算,可以通过将"并的形式","差的形式"两种形式转换为交的形式进行计算
• 例如:
  1. $P(A\cup B)=P(\overline{\overline{A}\overline{B}})=1-P(\overline{A}\overline{B})$=$1-P(\overline{A})P(\overline{B})$
  2. $P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$
  3. $P(A)$=$P(A(B\cup \overline{B}))$=$P(AB\cup A\overline{B})$=$P(AB)+P(A\overline{B})$
• 特别是(3)的拆项法,若$A,B$相互独立,则$P(A)$=$P(AB)+P(A\overline{B})$=$P(A)P(B)+P(A)P(\overline{B})$

例

• 设$A,B$是独立事件,$P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)$,且$P(A\cup B)=\frac{8}{9}$,求$P(A)$

  • $P(A)$=$P(AB)+P(A\overline{B})$=$P(AB)+P(\overline{A}B)$=$P((\overline{A}\cup A)B)$=$P(B)$
  • 所以$P(\overline{A})$=$P(\overline{B})$
  • $P(A\cup B)$=$1-P(\overline{A}\overline{B})$=$1-P(\overline{A})P(\overline{B})$=$1-P(\overline{A}{)}^2$=$\frac{8}{9}$
  • 所以$P(\overline{A}{)}^2$=$\frac{1}{9}$,由概率的非负性:$P(\overline{A})=\frac{1}{3}$,所以$P(A)$=$\frac{2}{3}$

• 其中$P(A)=P(B)$的另一种求法(减法公式):

  • $P(A\overline{B})$=$P(A-B)$=$P(A)-P(AB)$
  • $P(\overline{A}B)$=$P(B-A)$=$P(B)-P(AB)$
  • 又两式相等,所以$P(A)=P(B)$

概率0和1与不可能事件和必然事件的区别

若$P(A)=0$,$P(B)=1$,样本空间为$S$,则以下结论是否成立?

• $A,B$相互独立
  • 方法1:根据独立事件定义导出的性质,概率为0的事件和任意事件相互独立,而$P(A)=0$,所以$A,B$相互独立
  • 方法2:因为$AB\subset A$,所以$P(AB)⩽P(A)=0$,由概率非负性,$P(AB)=0$,从而$P(AB)=P(A)P(B)$,即$A,B$相互独立

以下结论不一定成立,在详见连续形概率模型中

• $A=\varnothing$,$B=S$
• $A\subset B$
• $AB=\varnothing$