容易从定积分的定义:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
\lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}\Delta{x_i}
λ→0lim∑i=1nf(ξi)Δxi(1)看出,定积分是求和式
λ
→
0
\lambda\to{0}
λ→0时的极限
通常,利用定积分极限求解的问题时,划分积分区间时采用均分(等分)的方法,即被积分区域被 n n n等分
定积分的计算和具体的区间分法和 ξ i \xi_i ξi的选取无关,这里取最简单的分法: n n n等分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b](积分区域为 [ a , b ] [a,b] [a,b])
则,
Δ
x
i
\Delta{x_i}
Δxi=
1
n
(
b
−
a
)
\frac{1}{n}(b-a)
n1(b−a),则
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
\lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}\Delta{x_i}
λ→0lim∑i=1nf(ξi)Δxi=
1
n
(
b
−
a
)
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
\frac{1}{n}(b-a) \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^{n}f{(\xi_{i})}
n1(b−a)λ→0lim∑i=1nf(ξi)(2)
(3)
(4)例: f ( n ) = n ( 1 1 + n 2 + 1 2 2 + n 2 + ⋯ + 1 n 2 + n 2 ) f(n)=n(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}) f(n)=n(1+n21+22+n21+⋯+n2+n21);求 lim n → ∞ f ( n ) \lim\limits_{n\to{\infin}}f(n) n→∞limf(n)
f ( n ) f(n) f(n)中被求和各式的变化(差异)部分式从 1 1 1变化到 n 2 n^2 n2,和不变部分的 n 2 n^2 n2是同阶的
f
(
n
)
f(n)
f(n)=
n
∑
i
=
1
n
1
i
2
+
n
2
n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2+n^2}
n∑i=1ni2+n21=
1
n
n
2
∑
i
=
1
n
1
i
2
+
n
2
\frac{1}{n}n^2\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2+n^2}
n1n2∑i=1ni2+n21=
1
n
∑
i
=
1
n
1
(
i
n
)
2
+
1
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(\frac{i}{n})^2+1}
n1∑i=1n(ni)2+11(5),令
g
(
x
)
g(x)
g(x)=
1
(
i
n
)
2
+
1
\frac{1}{(\frac{i}{n})^2+1}
(ni)2+11(6)
为了转化为定积分,观可(6)的含
n
n
n的变化部分为
i
n
\frac{i}{n}
ni(7),对式(7)分别在
i
=
1
i=1
i=1和
i
=
n
i=n
i=n时求
n
→
∞
n\to{\infin}
n→∞时的极限,可求得积分下限和上限分别为
lim
n
→
∞
1
n
=
0
\lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{1}{n}=0
n→∞limn1=0;
lim
n
→
∞
(
n
n
)
\lim\limits_{n\to{\infin}}(\frac{n}{n})
n→∞lim(nn)=1
将被求和式 g ( x ) g(x) g(x)的变化部分 ( i n ) (\frac{i}{n}) (ni)替换为 x x x,被积分的函数为 h ( x ) = 1 x 2 + 1 h(x)=\frac{1}{x^2+1} h(x)=x2+11,对应的定积分式为 ∫ 0 1 1 x 2 + 1 d x \int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x ∫01x2+11dx= arctan x ∣ 0 1 \arctan{x}|_{0}^{1} arctanx∣01= π 4 \frac{\pi}{4} 4π
例: f ( n ) = ∑ i = 1 n 1 n 2 i sin i n f(n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}i\sin{\frac{i}{n}} f(n)=∑i=1nn21isinni; lim n → ∞ f ( x ) = ? \lim\limits_{n\to{\infin}}f(x)=? n→∞limf(x)=?
例:若 f ( n ) = ∑ k = 1 n k n 2 ln ( 1 + k n ) f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}\ln(1+\frac{k}{n}) f(n)=∑k=1nn2kln(1+nk), lim n → ∞ f ( x ) = ? \lim\limits_{n\to{\infin}}f(x)=? n→∞limf(x)=?
f ( x ) = ln ( 1 + 1 n ) 2 ( 1 + 2 n ) 2 ⋯ ( 1 + n n ) 2 n f(x)=\ln\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^2 (1+\frac{2}{n})^2\cdots (1+\frac{n}{n})^2} f(x)=lnn(1+n1)2(1+n2)2⋯(1+nn)2, lim n → ∞ f ( x ) = ? \lim\limits_{n\to{\infin}}f(x)=? n→∞limf(x)=?
f ( x ) f(x) f(x)= 1 n ln ( 1 + 1 n ) 2 ( 1 + 2 n ) 2 ⋯ ( 1 + n n ) 2 \frac{1}{n}\ln{(1+\frac{1}{n})^2 (1+\frac{2}{n})^2\cdots (1+\frac{n}{n})^2} n1ln(1+n1)2(1+n2)2⋯(1+nn)2= 2 n [ ln ( 1 + 1 n ) + ⋯ + ln ( 1 + n n ) ] \frac{2}{n}[\ln(1+\frac{1}{n})+\cdots+\ln(1+\frac{n}{n})] n2[ln(1+n1)+⋯+ln(1+nn)]= 2 n ∑ i = 1 n ln ( 1 + i n ) \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(1+\frac{i}{n}) n2∑i=1nln(1+ni)= 2 [ 1 n ∑ i = 1 n ln ( 1 + i n ) ] 2[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(1+\frac{i}{n})] 2[n1∑i=1nln(1+ni)]
h ( x ) h(x) h(x)= ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x),积分区间为 i = 1 , n i=1,n i=1,n下分别求 n → ∞ n\to{\infin} n→∞时 i n \frac{i}{n} ni极限得积分区间为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]
2 ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x 2\int_{0}^{1}{\ln{(1+x)}}\mathrm{d}x 2∫01ln(1+x)dx= 2 ( ( 1 + x ) ln ( 1 + x ) − ( x + 1 ) ) ∣ 0 1 2((1+x)\ln(1+x)-(x+1))|_{0}^{1} 2((1+x)ln(1+x)−(x+1))∣01= 4 ln 2 − 2 4\ln{2}-2 4ln2−2
若令 x x x替换 ( 1 + i n ) (1+\frac{i}{n}) (1+ni),则被积函数变为 h 1 ( x ) h_1(x) h1(x)= ln x \ln{x} lnx,积分区间为 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]结果为 2 ∫ 1 2 ln x d x 2\int_{1}^{2}\ln{x}\mathrm{d}x 2∫12lnxdx= 4 ln 2 − 2 4\ln{2}-2 4ln2−2,也正确
实际上, ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) d x \int_{0}^{1}\ln(1+x)\mathrm{d}x ∫01ln(1+x)dx= ∫ 1 2 ln x d x \int_{1}^{2}\ln{x}\mathrm{d}x ∫12lnxdx
f ( n ) = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n} f(n)=n+11+n+21+⋯+n+n1, lim n → ∞ f ( x ) = ? \lim\limits_{n\to{\infin}}f(x)=? n→∞limf(x)=?
f ( n ) = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + 2 n f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+2n} f(n)=n+11+n+21+⋯+n+2n1, lim n → ∞ f ( x ) = ? \lim\limits_{n\to{\infin}}f(x)=? n→∞limf(x)=?
设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续,则 ∫ 0 1 f ( x ) d x \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x ∫01f(x)dx= S S S和下列求和式的当 n → ∞ n\to{\infin} n→∞时的极限的关系?
(1),第
k
k
k个区间表示为
K
1
=
[
k
−
1
n
,
k
n
]
K_1=[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]
K1=[nk−1,nk](2),第
k
k
k个区间表示为
K
2
=
[
k
−
1
2
n
,
k
2
n
]
K_2=[\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n}]
K2=[2nk−1,2nk]如果作为选择题,题干涉及的函数时一般(任意函数),非常推荐可用特例函数排除法,检测各个选项是否满足 f i ( x ) → S ( n → ∞ ) f_i(x)\to{S}(n\to{\infin}) fi(x)→S(n→∞),不满足的排除(对于满足的选项只能说可能是正确的,但如果能够排除3个,那么剩下的一个就是对的),另一方面可以取不知一个特例尝试
,