微积分 - 对数函数与指数函数的导数

指数法则

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对数法则

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6. 换底法则：对于任意的底数b>1和c>1以及任意的数x>0有：

对数函数和指数函数求导

令,那么g的导数是什么？使用导数的定义我们得到：

我们如何来简化这个杂乱的公式呢？当然是使用对数法则了，首先利用对数法则4将对数的差简化成对数的商：

再利用对数法则5将因子1/h提至指数位置：

现在让我们先忽略,当h趋于0时会怎么样？也就是说：

根据e的定义那章的内容（没看过的可以去找）我们可以推导出：

所以带入到原本的公式可以得到：

假设令b = e 则有： 

由此我们也知道了的倒数就是 也即 ，这也正是为什么以e为底的对数被称为自然对数的原因之一了。

等等我们是不是还没有解答原本的问题那？

不急这就出来了，根据对数法则6的换底法则有： 

于是有： 。

看到这里问题已经解决了，但这只是对数函数的导数，那吴彦祖可能就要问了：那指数函数的导数那？

现在看看这个：如果 ,那么我们知道 。现在对其关于y求导，使用上述公式并用y替代x，得到：,上下颠倒后：.

由于，我们就得到了指数函数的一般求导公式：

这下各位吴彦祖就满意了吧，但是还没完，接下来的定理才是本篇文章的核心。

当b = e那:  且无论的几阶倒数都是一样的。

优雅吧！那下篇文章见。