初高（重要的是高中）中数学知识点综合（持续更新）

每一大章节完成后补充该章节目录。方便阅读

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1. 集合

1.1 集合的由来和确定性

 确定对象构成的整体称为集合（组成集合的元素必须是确定的 ），每个集合内的对象个体成为元素(Element)。
 确定性： 给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合内的元素，就已经确定了。
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比如，我国的四大发明，造纸术，印刷术，火药，指南针。就是一个明确的构成，这个集合就是四大发明。

四大发明 = {造纸术，印刷术，火药，指南针}
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每个集合内的元素，使用逗号隔开。

元素和集合之间，存在 属于/不属于 两种关系，拿上面的四大发明集合来讲，比如：

造纸术属于四大发明集合；手机不属于四大发明集合；
火药属于四大发明集合；机关枪不属于四大发明集合；
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为了方便书写，采用方便的符号形式来进行代替。

属于： ∈ 不属于： ∉

在用上述的例子，替换为符号就是

造纸术 ∈ 四大发明集合；手机 ∉ 四大发明集合；
火药 ∈ 四大发明集合；机关枪 ∉ 四大发明集合；
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如果给定一个集合， {大学计算机系所有的高个子学生}，那么这就是一个没有办法确定的内容，不能形成一个集合。你没办法明确知道高个子到底是多高。 如果是 {大学计算机系所有身高 > 170的高个子学生}，那么这就给我们划分了一个很明确的界限，大于 170 cm 的同学，都可以被划分为高个子学生列表。那么就能形成一个集合。

测试题

1. 大于 3 小于 11 的偶数。		（是）
2. 我国的小河流。			（不是）
3. 所有的正方形。			（是）
4. 本班跑步很快的同学。		（不是）
5. 与1接近的实数的全体。		（不是）
6. 1——10以内的全体质数。		（是）
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总结

1. 集合是一个由确定对象构成的整体。
2. 集合内的对象称为元素（Element）。
3. 属于 ∈   /   不属于 ∉
4. 集合的确定性，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合内的元素，就已经确定了。
5. 可见，对于给定一个集合和给定一个对象，这个对象是否为这个集合的元素，只有 “是” 与 “不是”，这两种情况，这就是集合中元素
所具有的确定性。
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1.2 集合中元素的特性

1. 确定性
   借鉴上面。

2. 互异性

在集合中，集合内的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的。
因为集合中的元素是没有重复现象的，所以任何两个相同的元素在同一集合内，只能算作这个集合中的一个元素。
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3. 无序性

集合与其中元素的排列次序无关，也就是说集合中的元素是不排序的。
例如： {1, 2} 也可以写成 {2, 1}，他们两个是一样的。
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1.3 常见数集

1.3.1 学习目标

1. 理解常见数集的定义。
2. 熟记常见数集的符号。
3. 会判断数字与不同数集之间的关系。

1.3.2 自然数（Natural Number) 用以计量事物的件数 ： N

自然数英语为 Natural Number， 所以用 大写 N 来表示自然数集。

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
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在1993年对于自然数集做了重新定义，定义为：

• 不小于 0 的所有整数叫 自然数集 / 非负整数 的集，也就是说，0 也是自然数集内的元素

扩展，在中国大陆2000年后的数学教材，自然数集内都包括 0。

在N后做一些特殊标记也有不同的意义，比如:

1. N* : 除0意外的自然数集
2. N+ : （+可以在N上面，也可以在N下面）正自然数集。
3. 以此类推…

1.3.2 整数集（Whole Number）: Z

整数并没有用 W 来表示整数集，有一种说法是：德国女数学家，诺特 （1882-1935）德意志数学家，抽象代数的奠基人，她提出的整数环对于整数有重大的意义 所以整数取得是德语 Zahlen（支付，数字）的首字母，Z。

Z = {0, 1, -1, 2, -2....}
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1.3.3 分数 （两个整数之比 — 商）

分数，指的是两个整数之比，古希腊数学家毕达哥拉斯提出了万物皆数的概念，还发现了著名的黄金比例。他们认为，整数和分数，就可以解释整个世界了。

1.3.4 有理数：两个整数之比 — 商(Quotient) : Q

所以，有理数采用商的首字母，Q来表示有理数集。准确来说。有理数包括整数和分数

• Q = {整数和非零整数的比}

整数也可以表示成 9/1 (一分之九)，8/1，5/1。 分数也可以表示为， 1/2， 3/8， 1/3

1.3.5 无理数：根号二是有理数吗？

并不是，常见的无理数有，开不尽的根号。 根号3，根号5，根号7，根号9.1 …, 无限不循环小数 Π = 3.1415926535…，自然数e等。不过到目前为止，无理数还没有统一的字幕表示。所有的有理数 + 无理数就是实数。

1.3.6 实数（Real Number）：R

实数集是所有的有理数 + 无理数，实数集是目前所学的最大的数集。我们所有学习过的数字都在这个集合里面。

1.3.7 练习题

用符号 “∈” 或者 “∉”填空。

1. 5__N,  -5__N,  0__N

2. 3__Z,  -3__Z,  3.1__Z

3. 3.14__Q,  Π__Q,  根号2__Q

4. Π__R,  3.1__R,  根号三__R
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答案

N是自然数集，大于切等于0的整数都是数集内的内容
 1. ∈，∉，∈

Z是整数集，大于小于等于0的所有整数都属于集合内的内容。
 2. ∈，∈，∉

Q是有理数集，也就是两数之比和所有的整数（小数，分数，正整数，负整数，0）
 3. ∈，∉，∉

R是实数集，包括了N，Z，Q，无理数集，是学习过的最大的数集
 4. ∈，∈，∈
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特殊符号集

1. 0__N+,  0__Z+,  0__R*
2. -3__Z+, -3__Z-, -3__Z*
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答案

在数集后面跟 + 表示数集内的所有正数对象，  - 表示所有的复数对象，R表示0除外的所有对象
3. ∉，∉，∉
4. ∉，∈，∈
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1.3.8 总结

学习了各个数集。总结内容如下

1. N(自然数集) < Z(整数集) < Q(有理数集) < R(实数集）,实际上是不能这样表示的，需要稍微改造一下。
2. N(自然数集) ∈ Z(整数集) ∈ Q(有理数集) ∈ R(实数集)

1.4 集合的表示方法

1.4.1 列举法

当一个集合内的元素不多的情况下，可以采取列举法，使用一个大括号，将集合内的元素一一列举出来，采用逗号隔开，比如。
不大于5的自然数所凑成的集合 。

不大于5的自然数，自然数包括0，但不包括负数，小数，分数等。也就是大于等于0的所有整数。那么就是 0 1 2 3 4 5
不大于5的自然数 = {0， 1， 2， 3， 4， 5};
根据集合的无序性，这几个元素可以任意交换位置，只要做到不重，不漏，不过为了美观，一般是按照顺序写。
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这就是列举法，元素不多，有限，都可以用列举法来表示。

1.4.2 性质描述法

当一个集合明显是无限对象的时候，比如：小于5的实数组成的集合。

小于5的实数，有很多，包括负数，小数，分数，他是无穷多的。这时候就可以来使用描述法。
小于5的实数 = {x|x < 5， x ∈ R}
最大的数集是R，也就是实数集，所以一般情况下，X ∈ R可以不写，在不写的情况下，元素默认属于实数集
小于5的实数 = {x|x < 5}
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那么，不大于5的自然数，也可以采用性质描述法，比如

不大于5的自然数 = {x|x <= 5, x ∈ N}
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1.4.3 题目

例一：用列举法表示下列集合

1. 大于 -4 且小于 12 的全体偶数；
   1.1 解： 集合 = {-2， 0， 2， 4， 6， 8， 10}
2. 方程 X² - 5X -6 = 0的解集；
   2.1 解：集合 = {-1, 6}

例二：用性质描述法表示下列集合

1. 小于5的整数组成的集合
   1.1 解：{x|x<5，x ∈ Z}
2. 不等式2x + 1 <= 0的解集
   2.1 解：{x|x<= -1/2}
3. 所有奇数组成的集合
   3.1 解：{x|x=2k+1，k∈Z}
4. 直角坐标系中，第一象限所有的点组成的集合
   4.1 解：{（x,y) | x > 0, y > 0}