领悟《信号与系统》之 傅立叶变换的性质与应用

依据傅里叶变换对概念，一个非周期连续时间信号可以表述为指数函数的积分。根据这个积分的性质可以联系起时域和频域的关系。推导出一些非常好用的公式，以简化运算。

一、傅里叶变换性质表

二、傅里叶性质详细

• 傅里叶变换式：
  
  该变换式建立起了信号时域与频域间的联系，因而，一个信号可以有两种描述，而且形式可以相互转换，这里主要记录一下信号在时域中进行运算或变化时，在频域引起的效应。

1. 线性性质

用这个就能复合信号分解，然后分别求单独的傅里叶变换，最后再合并，主要就是分解来分步骤解决问题。和LTI 的线性齐次变换一致的。

• 定义：
  

例题：

2. 尺度变换特性

尺度变换特性说明，连续时间信号在时域展宽（0 < a < 1），对应其频谱信号在频域压缩；时域压缩（a >1），对应频域展宽；如果a < 0 ，则时域波形反转并压缩或展宽。这一特性说明了时间和频率之间的反比关系，通常称为时频展缩。
(F = 1 / T) 所以成反比哈
该性质在信号处理系统设计时，常常是一重要的衡量因素。例如，希望提高系统的传输效率时，需要对待传输的信号进行压缩，但压缩后的信号则需要设计频带更宽的传输系统。

• 定义：
  
  证明：
  

例题：

3. 时移特性

这一性质说明，当信号在时间域有移位（表示信号的接入时间有变化），其幅度频谱不变，相位频谱将增加一个附加相移 ±ωt₀，并且与ω 成线性关系。

• 定义：
  
  证明：
  

例题：

4. 频移特性

这个用的非常多，他能频谱搬移，用的非常多。

• 定义：
  
  证明:
  

例题：

频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅、同步解调等都是在频谱搬移基础上实现的，实现频谱搬移的原理如下图所示。它将信号 f(t) （常称为调制信号）在时域上乘以载波信号 cos(ω₀t) 或 sin(ω₀t) ，从而得到高频已调信号 y(t) ，即

• y(t) = f(t) · cos(ω₀t)
  
  下面举出门函数及高频脉冲信号的时域波形及其频谱例子
  

可见，当用某低频信号 f (t) 去调制角频率为 ω₀ 的正弦信号的振幅时，高频已调信号的频谱是将 f (t) 的频谱 F(jω) 按比例复制为二，分别向左和向右搬移 ω₀ ，在搬移的过程中，幅度频谱的形式未改变。上述频率搬移的过程，在电子技术中就是调幅的过程。

5. 时域微分特性

时域的微分运算用频域中的乘法运算代替，这样就简化运算了

• 定义：
  
  证明：
  

例题：

6. 频域微分特性

• 定义：
  
  证明：
  

7. 时域积分特性

• 定义：
  

例题：

8. 频域积分特性

• 定义：
  

例题：

9. 卷积定理

1. 时域卷积定理

两个时域内相卷积信号的傅里叶变换为其分别求频谱的乘积。通过这一性质，我们可以将时域的卷积运算映射到频域进行。

• 定义：
  
  证明：
  

2. 频域卷积定理

一个信号乘以另一个信号，可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅，因此，频域卷积定理有些书上也称为（幅度）调制定理

• 定义：
  

例题：

例题：

10. 对称性

该性质说明，时间变量和频率变量交换后，都有一种对称关系（也称对偶关系）存在。利用这一性质，可以比较方便地分析某些信号的傅里叶正变换和傅里叶反变换。

• 定义：
  
  证明：
  

例题：

11. 帕塞瓦尔定理

• 定义：
  
  一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限值，故是一个能量信号，其总能量W 为
  
  非周期信号的帕塞瓦尔定理表明：对于非周期信号而言，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。由于|F(jw)|² 是 w 的偶函数， 也可以写做: