代码随想录算法训练营第50天 | 123.买卖股票的最佳时机III 188.买卖股票的最佳时机IV

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动态规划篇 —— 买卖股票

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123.买卖股票的最佳时机III

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这道题相比于相比于 1 买卖一次和 2 买卖多次，它是至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
所以我直接看代码随想录了

1.状态定义

一天一共有五个状态
0 —— 没有操作
1 —— 第一次买入
2 —— 第一次卖出
3 —— 第二次买入
4 —— 第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金

2.状态转移

dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

总结

一天一共有五个状态
0 —— 没有操作
1 —— 第一次买入
2 —— 第一次卖出
3 —— 第二次买入
4 —— 第二次卖出

dp[i][0] = dp[i - 1][0]
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])

3.base case
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0] (#第0天做第一次买入的操作
dp[0][2] = 0 (#第0天做第一次卖出的操作
dp[0][3] = -prices[0] (#第0天做第二次买入的操作
dp[0][4] = 0 (#第0天做第二次卖出的操作

4.遍历顺序以及解的所在
正序遍历
解在dp[len-1][4]
最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]
        dp[0][1], dp[0][3] = -prices[0], -prices[0]

        for i in range(1, len(prices)):
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i])
        
        return dp[len(prices)-1][4]
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时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n × 5)

我总觉得，这道题也算个简单题呢，如果学了 1 和 2，知道这个题的状态有五种，那也不是很难
1和2的第 i 天状态只有两种， 就是 不持有 或者 持有

188.买卖股票的最佳时机IV

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这道题就是上一题的进阶版了，至多可以完成k笔交易

其实 至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了

然后可以根据上一题 找规律 ，dp式子是有规律的，除0之外 奇数买，偶数卖

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0: return 0
        dp = [[0] * (2*k+1) for _ in range(len(prices))]
        for j in range(1, 2*k, 2): dp[0][j] = -prices[0] #初始化

        for i in range(1, len(prices)):
            for j in range(0, 2*k-1, 2):
                dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])  #奇数
                dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]) #偶数
        return dp[-1][2*k]
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