力扣刷题day39|70. 爬楼梯(进阶版)、322零钱兑换、279完全平方数

70. 爬楼梯

力扣题目链接

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
1
2
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示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
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完全背包爬楼梯思路

把题目改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

在这种情况下，1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。且每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

分析到这里就可以发现这是一个完全背包题目

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：爬到有j个台阶的楼顶，有dp[j]种方法。

2. 确定递推公式

本题中，每次上楼的台阶为i，dp[j]有几种来源，dp[j - 1]，dp[j - 2]，dp[j - 3] 等等，即：dp[j - i]

递推公式为：dp[j] += dp[j- i]

3. dp数组如何初始化

实际上当j为0时，上0个台阶的方法只有一种，那就是不上台阶。

根据递归公式dp[j] += dp[j- i]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[j]初始化为0，因为dp[j]是靠dp[j-i]累计上来的，dp[j]本身为0这样才不会影响结果

4. 确定遍历顺序

我可以先走1级台阶再走2级台阶，也可以先走2级台阶再走1级台阶，这是两种不同的上楼方式，所以这道题要求的是排列问题

所以需将target（总台阶数j）放在外循环，将nums（每一次上楼的步数i）放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5. 举例来推导dp数组

和简单的完全背包问题一样举例

完整代码

m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了

322. 零钱兑换

力扣题目链接

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1
1
2
3

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
1
2

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
1
2

思路

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

现在要凑的硬币为coins[i]，除开当前的硬币，凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上当前的钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])

3. dp数组如何初始化

实际情况凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0

其他下标对应的是不是也为0呢？并不是，因为递推公式是在两个数里面取最小值，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖，把每个dp[j]都比较成0

int[] dp = new int[amount + 1];
//初始化dp数组为最大值
for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
    dp[j] = Integer.MAX_VALUE;
}
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4. 确定遍历顺序

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以这道题无所谓是排列还是组合。

这道题我们就用求组合的方式来做，外层for循环遍历物品，内层for遍历背包（coins放在外循环，target在内循环）

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

5. 举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

难点

为什么在内循环里要判断dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE，才能比较dp[j]的大小？

如下图的错误示例

如果不进行判断，直接对dp[j]求min

那么此时dp[2] = min(dp[2], dp[2-2] + 1) = 1

dp[3] = min(dp[3], dp[3-2] + 1) = min(dp[3], dp[1] + 1) = Integer.MAX_VALUE

在这里的dp[1]并没有硬币能凑到1，一直是初始的最大值，如果不筛选进行判断了，那就会影响最后的结果

因此这里的判断筛掉了没有硬币能凑成j-coins[i]的情况

完整代码

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] dp = new int[amount + 1];
    //初始化dp数组为最大值
    for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
        dp[j] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    dp[0] = 0;

    for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            // 只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
            if (dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
                //选择硬币数目最小的情况
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
    }
    if (dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) return -1;
    return dp[amount];
}
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遍历背包放在外循环，遍历物品放在内循环的情况也给出代码：

// 先背包再物品
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] dp = new int[amount + 1];
    //初始化dp数组为最大值
    for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
        dp[j] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    dp[0] = 0;

    for (int j = 1; j <= amount; j++) {
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            // 只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
            if (j - coins[i] >= 0 && dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
                // 选择硬币数目最小的情况
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
    }
    if (dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) return -1;
    return dp[amount];
}
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279. 完全平方数

力扣题目链接

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4
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3

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
1
2
3

思路

题目中的每个完全平方数的数量是无限的，最后要凑成n，可以看出是典型的完全背包问题。

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出，dp[j - i * i] + 1便可以凑成dp[j]。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])

3. dp数组如何初始化

题目中的描述完全平方数不包括0，从1开始（ 1, 4, 9, 16, …）

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

本题求完全平方数的最少数量，那么全平方数有顺序和没有顺序都可以，都不影响全平方数的最小数量。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

这道题我们用先遍历物品（完全平方数），在遍历背包（总和）

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i * i; j <= n; j++) {
        if (dp[j - i * i] != Integer.MAX_VALUE) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
        }
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5. 举例推导dp数组

已输入n为5例，dp状态图如下：

完整代码

public int numSquares(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    //初始化dp数组为最大值
    for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
        dp[j] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    dp[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i * i; j <= n; j++) {
            if (dp[j - i * i] != Integer.MAX_VALUE) {
                dp[j] = Math.min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
    }

    return dp[n];
}
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也给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码

public int numSquares1(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    //初始化dp数组为最大值
    for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
        dp[j] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    dp[0] = 0;

    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
        }
    }

    return dp[n];
}
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