【定义】矩阵

定义（矩阵）　由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$（$i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n

a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​
称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) \boldsymbol{A} =

(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​
这个 $m\times n$ 个数称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 元素，简称为 元，数 $a_{ij}$ 位于矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $(i,j)$ 元。以数 $a_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元的矩阵可简记作 $(a_{ij})$ 或 $(a_{ij}{)}_{m\times n}$。$m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 也记作 ${\mathbf{A}}_{m\times n}$。

矩阵其他性质的定义：

• 实矩阵 和 复矩阵：元素是实数的矩阵称为 实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵。

• 方阵：行数与列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵 或 $n$ 阶方阵。$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 也记作 $A_n$。

• 行矩阵 和 行向量：只有一行的矩阵 A = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) \boldsymbol{A} =

  (a1a2⋯an)" role="presentation" style="position: relative;">(a1a2⋯an)$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)$$
  A=(a1​​a2​​⋯​an​​) 称为 行矩阵，又称 行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 $\mathbf{A}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$。

• 列矩阵 和 列向量：只有一列的矩阵

B = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) \boldsymbol{B} =

B= ​b1​b2​⋮bm​​ ​

称为 列矩阵，又称 列向量。

• 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是 同型矩阵。

• 矩阵相等：如果 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 与 $\mathbf{B}=(b_{ij})$ 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

$$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$$

那么就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{B}$ 相等，记作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

• 零矩阵：元素都是零的矩阵称为 零矩阵，记作 $\mathbf{O}$。

需要注意的是，不同型的零矩阵是不同的。

• 对角矩阵：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是 $0$。这种方阵称为 对角矩阵，简称 对角阵。对角阵也记作 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$。

• 单位矩阵：对于对角阵 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，特别当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=1$ 时的线性变换叫做恒等变换，它对应的 $n$ 阶方阵

E = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) \boldsymbol{E} =

E= ​10⋮0​01⋮0​⋯⋯⋯​00⋮1​ ​

叫做 $n$ 阶 单位矩阵，简称 单位阵。这个方阵的特点是：对角线上的元素都是 $1$，其他元素都是 $0$。即单位阵 $\mathbf{E}$ 的 $(i,j)$ 元 $e_{ij}$ 为
e i j = { 1 ,  当 i = j 0 ,  当 i ≠ j ( i , j = 1 , 2 , ⋯   , n ) e_{ij} =

\hspace{1em} (i,j=1,2,\cdots,n) eij​={1, 当i=j0, 当i=j​(i,j=1,2,⋯,n)