f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x)=f(x)
f(−x)=f(x),称
f
(
x
)
f(x)
f(x)为偶函数
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x)=-f(x)
f(−x)=−f(x),称
f
(
x
)
f(x)
f(x)为奇函数
函数奇偶性性质
函数记号声明
o
(
x
)
,
o
i
(
x
)
o(x),o_{i}(x)
o(x),oi(x)均表示奇函数
e
(
x
)
,
e
i
(
x
)
e(x),e_i(x)
e(x),ei(x)均表示偶函数
四则运算性质
和差
偶(奇)函数相加得到的新函数仍为偶(奇)函数
奇函数相加减,得到的新函数还是奇函数
h
1
(
x
)
=
o
1
(
x
)
+
o
2
(
x
)
h_1(x)=o_1(x)+o_2(x)
h1(x)=o1(x)+o2(x)
h
1
(
−
x
)
=
o
1
(
−
x
)
+
o
2
(
−
x
)
=
−
o
1
(
x
)
−
o
2
(
x
)
=
−
(
o
1
(
x
)
+
o
2
(
x
)
)
=
−
h
1
(
x
)
h_1(-x)=o_1(-x)+o_2(-x)=-o_1(x)-o_2(x)=-(o_1(x)+o_2(x))=-h_1(x)
h1(−x)=o1(−x)+o2(−x)=−o1(x)−o2(x)=−(o1(x)+o2(x))=−h1(x)
h
1
(
x
)
=
o
1
(
x
)
−
o
2
(
x
)
h_1(x)=o_1(x)-o_2(x)
h1(x)=o1(x)−o2(x)
h
1
(
−
x
)
=
o
1
(
−
x
)
−
o
2
(
−
x
)
=
−
o
1
(
x
)
+
o
2
(
x
)
=
−
h
1
(
x
)
h_1(-x)=o_1(-x)-o_2(-x)=-o_1(x)+o_2(x)=-h_1(x)
h1(−x)=o1(−x)−o2(−x)=−o1(x)+o2(x)=−h1(x)
合起来写:
h
2
(
x
)
=
o
1
(
x
)
±
o
2
(
x
)
h_2(x)=o_1(x)\pm o_2(x)
h2(x)=o1(x)±o2(x)
h
1
(
−
x
)
=
o
1
(
−
x
)
±
o
2
(
−
x
)
h_1(-x)=o_1(-x)\pm o_2(-x)
h1(−x)=o1(−x)±o2(−x)=
−
o
1
(
x
)
±
(
−
o
2
(
x
)
)
=
−
h
1
(
x
)
-o_1(x)\pm(-o_2(x))=-h_1(x)
−o1(x)±(−o2(x))=−h1(x)
偶函数相加减得到的新函数仍为偶函数
h
2
(
x
)
=
e
1
(
x
)
±
e
2
(
x
)
h_2(x)=e_1(x)\pm e_2(x)
h2(x)=e1(x)±e2(x)
h
2
(
−
x
)
=
e
1
(
−
x
)
±
e
2
(
−
x
)
=
(
e
1
(
x
)
±
(
e
2
(
x
)
)
=
h
2
(
x
)
h_2(-x)=e_1(-x)\pm e_2(-x)=(e_1(x)\pm (e_2(x))=h_2(x)
h2(−x)=e1(−x)±e2(−x)=(e1(x)±(e2(x))=h2(x)
奇函数
±
\pm
±偶函数的结果没有一般性的定论
乘积
h
1
(
x
)
=
o
(
x
)
e
(
x
)
h_1(x)=o(x)e(x)
h1(x)=o(x)e(x)
h
1
(
−
x
)
=
o
(
−
x
)
e
(
−
x
)
=
−
o
(
x
)
e
(
x
)
=
−
h
1
(
x
)
h_1(-x)=o(-x)e(-x)=-o(x)e(x)=-h_1(x)
h1(−x)=o(−x)e(−x)=−o(x)e(x)=−h1(x)
h
2
(
x
)
=
o
1
(
x
)
o
2
(
x
)
h_2(x)=o_1(x)o_2(x)
h2(x)=o1(x)o2(x)
h
2
(
−
x
)
=
o
1
(
−
x
)
o
2
(
−
x
)
=
(
−
o
1
(
x
)
)
(
−
o
2
(
x
)
)
=
o
1
(
x
)
o
2
(
x
)
=
h
2
(
x
)
h_2(-x)=o_1(-x)o_2(-x)=(-o_1(x))(-o_2(x))=o_1(x)o_2(x)=h_2(x)
h2(−x)=o1(−x)o2(−x)=(−o1(x))(−o2(x))=o1(x)o2(x)=h2(x)
h
3
(
x
)
=
e
1
(
x
)
e
2
(
x
)
h_3(x)=e_1(x)e_2(x)
h3(x)=e1(x)e2(x)
h
3
(
−
x
)
=
e
1
(
−
x
)
e
2
(
−
x
)
=
e
1
(
x
)
e
2
(
x
)
=
h
3
(
x
)
h_3(-x)=e_1(-x)e_2(-x)=e_1(x)e_2(x)=h_3(x)
h3(−x)=e1(−x)e2(−x)=e1(x)e2(x)=h3(x)
上述三条分别表明:
奇函数乘偶函数结果为奇函数
偶函数乘偶函数结果为偶函数
奇函数乘奇函数结果为偶函数
商
令:
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
y(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
y(x)=g(x)f(x),
y
(
−
x
)
=
f
(
−
x
)
g
(
−
x
)
y(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}
y(−x)=g(−x)f(−x)
y
(
x
)
=
o
1
(
x
)
o
2
(
x
)
y(x)=\frac{o_1(x)}{o_2(x)}
y(x)=o2(x)o1(x),
y
(
−
x
)
=
y
(
x
)
y(-x)=y(x)
y(−x)=y(x)
y
(
x
)
=
o
(
x
)
e
(
x
)
y(x)=\frac{o(x)}{e(x)}
y(x)=e(x)o(x),或
y
(
x
)
=
e
(
x
)
o
(
x
)
y(x)=\frac{e(x)}{o(x)}
y(x)=o(x)e(x),都有
y
(
−
x
)
=
−
y
(
x
)
y(-x)=-y(x)
y(−x)=−y(x)
y
(
x
)
=
e
1
(
x
)
e
2
(
x
)
y(x)=\frac{e_1(x)}{e_2(x)}
y(x)=e2(x)e1(x),则
y
(
−
x
)
=
y
(
x
)
y(-x)=y(x)
y(−x)=y(x)
即
分子分母奇偶性相同时,结果为偶函数
分子分母奇偶性不同时,结果为奇函数
例如:
sin
x
x
\frac{\sin{x}}{x}
xsinx为偶函数,而
sin
x
x
2
\frac{\sin{x}}{x^2}
x2sinx为奇函数
复合性质
y
=
f
(
u
)
;
u
=
g
(
x
)
y=f(u);u=g(x)
y=f(u);u=g(x),
y
(
x
)
=
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
y(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))
y(x)=(f∘g)(x)=f(g(x))的奇偶性
例如,
f
(
u
)
=
1
u
f(u)=\frac{1}{u}
f(u)=u1;
u
=
g
(
x
)
=
x
2
u=g(x)=x^2
u=g(x)=x2
显然
f
(
u
)
f(u)
f(u)是个奇函数(反比例函数);
g
(
x
)
g(x)
g(x)是偶函数;
y
(
x
)
=
1
x
2
y(x)=\frac{1}{x^2}
y(x)=x21则是偶函数
为了便于提高推导效率,沿用前面的
o
(
x
)
,
e
(
x
)
o(x),e(x)
o(x),e(x)的含义(分别表示奇函数和偶函数)
奇函数复合偶函数
y
1
(
x
)
=
o
(
e
(
x
)
)
y_1(x)=o(e(x))
y1(x)=o(e(x))
y
1
(
−
x
)
=
o
(
e
(
−
x
)
)
y_1(-x)=o(e(-x))
y1(−x)=o(e(−x))=
o
(
e
(
x
)
)
=
y
(
x
)
o(e(x))=y(x)
o(e(x))=y(x)
特例助记:
y
(
u
)
=
u
;
u
=
x
2
;
y
(
x
)
=
x
2
(
偶函数
)
y(u)=u;u=x^2;y(x)=x^2(偶函数)
y(u)=u;u=x2;y(x)=x2(偶函数)
偶函数复合奇函数
y
1
(
x
)
=
e
(
o
(
x
)
)
y_1(x)=e(o(x))
y1(x)=e(o(x))
y
1
(
−
x
)
=
e
(
o
(
−
x
)
)
=
e
(
−
o
(
x
)
)
=
e
(
o
(
x
)
)
=
y
1
(
x
)
y_1(-x)=e(o(-x))=e(-o(x))=e(o(x))=y_1(x)
y1(−x)=e(o(−x))=e(−o(x))=e(o(x))=y1(x)
奇函数复合奇函数
y
2
(
x
)
=
o
1
(
o
2
(
x
)
)
y_2(x)=o_1(o_2(x))
y2(x)=o1(o2(x))
y
2
(
−
x
)
=
o
1
(
o
2
(
−
x
)
)
=
o
1
(
−
o
2
(
x
)
)
=
−
o
1
(
o
2
(
x
)
)
=
−
y
2
(
x
)
y_2(-x)=o_1(o_2(-x))=o_1(-o_2(x))=-o_1(o_2(x))=-y_2(x)
y2(−x)=o1(o2(−x))=o1(−o2(x))=−o1(o2(x))=−y2(x)
偶函数复合偶函数
y
3
(
x
)
=
e
1
(
e
2
(
x
)
)
y_3(x)=e_1(e_2(x))
y3(x)=e1(e2(x))
y
3
(
−
x
)
=
e
1
(
e
2
(
−
x
)
)
=
e
1
(
e
2
(
x
)
)
=
y
3
(
x
)
y_3(-x)=e_1(e_2(-x))=e_1(e_2(x))=y_3(x)
y3(−x)=e1(e2(−x))=e1(e2(x))=y3(x)
其中
,
记
u
=
e
2
(
x
)
;
e
1
(
−
e
2
(
x
)
)
=
e
1
(
−
u
)
=
e
1
(
u
)
=
e
1
(
e
2
(
x
)
)
其中,记u=e_2(x);e_1(-e_2(x))=e_1(-u)=e_1(u)=e_1(e_2(x))
其中,记u=e2(x);e1(−e2(x))=e1(−u)=e1(u)=e1(e2(x))
设k为非零常数
t
(
x
)
=
k
f
(
x
)
;
t
(
−
x
)
=
k
f
(
−
x
)
t(x)=kf(x);t(-x)=kf(-x)
t(x)=kf(x);t(−x)=kf(−x),容易通过奇偶性定义验证,
t
(
x
)
t(x)
t(x)的奇偶性和
f
(
x
)
f(x)
f(x)一致;
事实上,常数是特殊函数(常数函数),而且是偶函数,从而
f
(
x
)
f(x)
f(x)乘偶函数不改变奇偶性
奇函数和偶函数表示定义域对称函数
定义域关于原点对称的普通函数
f
(
x
)
f(x)
f(x),可以表示为奇函数和偶函数之和
f
(
x
)
=
1
2
h
(
x
)
+
1
2
g
(
x
)
f(x)=\frac{1}{2}h(x)+\frac{1}{2}g(x)
f(x)=21h(x)+21g(x),
(
D
f
=
(
−
l
,
l
)
)
(D_f=(-l,l))
(Df=(−l,l))
h
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
h(x)=f(x)-f(-x)
h(x)=f(x)−f(−x);
g
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
g(x)=f(x)+f(-x)
g(x)=f(x)+f(−x)