【考研线代】四. 线性方程组

第四章 线性方程组

4.1 齐次线性方程组

4.1.1 概念

• 齐次线性方程组

• 基础解系

  齐次方程组Ax = 0解的线性无关的向量组，对应。可以线性组合表示出其他的解。

4.1.2 推论 & 定理

A是m行n列的矩阵

1. 当m

2. 当m=n时，Ax=0有非0解 <=> |A| = 0

3. 若Ax=0 系数矩阵的秩r(A) = r < n，则Ax = 0有n-r个线性无关的解，且方程组的任意解都可以由这n-r个线性无关的解线性表出。

   人话：基础解系有n-r个解向量。

4.1.3 求基础解系及通解方法

求齐次线性方程组对应的基础解系和通解：

• 对 系数矩阵 作 初等行变换，化成阶梯型矩阵（尽可能让分数出现得少一点）
• 自下向上变成行最简（主元为1，列不冲突）
• 提醒自己：n - r(A) = x，则表示基础解析有x个线性无关的解向量构成。有x个未知数是独立的自变量。
• 同解方程组，令自变量为(1，0) 或（0，1），得到的解就是基础解系（列向量）
• 基础解系 对应乘一个任意常数就是通解。

4.2 非齐次线性方程组

• 有解判定
• 解的结构

增广矩阵的表示：$$\overline{A}$$
意义：矩阵[A，b]称为方程组Ax = b的增广矩阵。

• 定理

$$AX=b有解<=>r(A)=r(\overline{A})$$

$$AX=b无解<=>r(A)+1=r(\overline{A})$$

• 解的结构

带有参数的方程组，如何加减消元？

——带参数的尽量挪到后面

• 解方程组

  • 增广矩阵先化成阶梯矩阵，此时可以判断是否有解。
  • 若有解，转化成行最简。-
  • 根据第一个非零元素的列下标，确定其余列(自由变量)的值，设(1,0),(0,1)…可以得到齐次方程的通解。
  • 将自由变量全部设成0，得到非齐次方程的特解。
  • 结合特解和通解，a+k1a1 + k2a2 + …

4.3 公共解，同解

先挖个坑，强化的内容。后面会不会补上也不知道

4.4 方程组的应用

求和矩阵A【】可以交换的矩阵
※设矩阵X和A可交换，AX = XA
※左右两边分别做矩阵的乘法，对应位置相等，利用移项得到一个系数矩阵。

解方程组AX = B
※先确定矩阵X的边长，若A不可逆，需要设X的每一个元素，求对应的方程组。

给出非齐次方程组的两个解α1 α2，求通解
※判定增广矩阵的秩，一般通过不等式 确定 秩的值
※利用 n - r(A) 求出自由变量的个数，设通解的形式为：α1 + kη1 + kη2 …
※由解的性质可以得到α2 - α1，就是其中一个齐次的通解η1