散列表（1）-集合/用位向量实现集合

 目录

1_集合

1.1_集合的定义

1.2_集合的记号

1.3_定义在集合上的基本运算

2_用位向量实现集合（附实现代码☟）

---

1_集合

1.1_集合的定义

集合是表示事物的最有效的数学工具之一。

集合是由元素（成员）组成的一个类。集合的成员可以是一个集合，也可以是一个原子。
同一个元素在一个集合中不能多次出现。
有时需要表示有重复元素的集合，这时允许同一个元素在集合中多次出现。这样的集合称为多重集合。

1.2_集合的记号

当集合中的原子具有线性序关系(或称全序关系)“<”时，称集合为有序集(全序集或线性序集)。“<”是集合的一个线性序，它有如下性质：

1. 若a，b是集合中任意两个原子，则a
2. 若a，b和c是集合中的原子，且a

• 将集合的元素称为记录，每个记录有多个项（或域）来表示元素的各种属性。
• 通过键值可以唯一地确定集合中的一个元素。
• 键只是元素记录中许多域中的一个。
• 集合中元素的列举顺序是任意的，如{1,3}和{3,1}表示同一个集合。
• 关于集合的最基本的运算是并、交、差运算。
• 设A和B是两个集合。
• 把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
• 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
• 则所有属于A且不属于B的元素构成的集合，叫做集合A减集合B(或集合A与集合B之差)，类似地，对于集合A、B，把集合{x∣x∈A,且x∉B}叫做A与B的差集。例如：
• A={1,2,3}，B={2,4}，则A-B={1,3}。

1.3_定义在集合上的基本运算

约定：其中大写字母表示一个集合，小写字母表示集合中的一个元素

• Set_Union(A, B)：并集运算
• Set_Intersection(A, B)：交集运算
• Set_Difference(A, B)：差集运算
• Set_Assign(A, B)：赋值运算(将B的元素赋给A)
• Set_Equal(A, B)：判等运算
• Set_Member(A, B)：成员运算
• Set_Insert(x, S)：插入运算
• Set_Delete(x, S)：删除运算

2_用位向量实现集合

• 位向量是一种每个元素都是二进制位(即0/1值)的数组

位向量实现的集合结构Bitset定义

typedef struct bitset *Set; /* 位向量集合指针类型 */
typedef struct bitset {
	int setSize; /* 集合大小 */
	int arraySize; /* 位数组大小 */
	unsigned short* v; /* 位数组 */
}Bitset;

创建一个用位向量实现、可存储集合大小为size的空集

Set SetInit(int size)
{
	Set S = (Set)malloc(sizeof * S);
	S->setSize = size;
 
	/* 存储大小为setsize的集合所需的无符号短整数位数 */
	S->arraySize = (size + 15) >> 4;
	S->v = (unsigned short*)malloc(size * sizeof(unsigned short));
 
	/* 初始化为空集 */
	for (int i = 0; i < size; i++) S->v[i] = 0;
 
	return S;
}

通过复制表示集合的位向量来实现赋值运算

void SetAssign(Set A, Set B)
{
	/* 集合赋值运算 */
	if (A->arraySize != B->arraySize) return;
	for (int i = 0; i < A->arraySize; i++) A->v[i] = B->v[i];
}

通过检测元素在表示集合的位向量中相应的位来判断成员的属性

int SetMember(int x, Set S)
{
	/* 成员属性判断 */
	if (x < 0 || x > S->setSize) return 0;
	return S->v[ArrayIndex(x)] & BitMask(x);
}

下标定位函数

int ArrayIndex(int x)
{
	/* 右移4位获得x在数组中的位置*/
	return x >> 4;
}

/* 位屏蔽函数*/
unsigned short BitMask(int x)
{
	/* 确定x在相应数组单元中的准确位置 */
	return 1 << (x & 15);
}
 
/* 判断集合相等函数 */
int SetEqual(Set A, Set B)
{
	/* 判断集合A和集合B是否相等*/
	if (A->arraySize != B->arraySize) return 0;
	int retval = 1;
	for(int i = 0; i < A->arraySize; i ++ )
		if (A->v[i] != B->v[i]) {
			retval = 0;
			break;
		}
	return retval;
}
 
/* 并集运算 */
Set SetUnion(Set A, Set B)
{
	Set tmp = SetInit(A->setSize);
	for (int i = 0; i < A->arraySize; i++)
		tmp->v[i] = A->v[i] | B->v[i];
	return tmp;
}
 
/* 交集运算 */
Set SetIntersection(Set A, Set B)
{
	Set tmp = SetInit(A->setSize);
	for (int i = 0; i < A->arraySize; i++)
		tmp->v[i] = A->v[i] & B->v[i];
	return tmp;
}
 
/* 差集运算 */
Set SetDifference(Set A, Set B)
{
	Set tmp = SetInit(A->setSize);
	for (int i = 0; i < A->arraySize; i++)
		tmp->v[i] = A->v[i] ^ B->v[i];
	return tmp;
}
 
/* 元素插入运算 */
void SetInsert(int x, Set S)
{
	if (x < 0 || x >= S->setSize) return;
	S->v[ArrayIndex(x)] |= ~BitMask(x);
}
 
/* 元素删除运算 */
void SetInsert(int x, Set S)
{
	if (x < 0 || x >= S->setSize) return;
	S->v[ArrayIndex(x)] &= ~BitMask(x);
}