高等数值计算方法学习笔记第5章【解线性方程组的直接方法】

一、引言与预备知识

关于线性方程组的数值解法一般有两类。
1、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章主要研究此类问题的解法。
2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。

1.例题

二、高斯消去法（上三角矩阵）

1.定义

三、高斯主元素消去法(该列之中最大的元素)

1.定义

对同一个数值问题，用不同的计算方法，得到的结果的精度大不一样。

一个计算方法，如果用此方法的计算过程中舍入误差得到控制，对计算结果影响较小，称此方法为数值稳定的。

否则，如果用此计算方法的计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大称此方法为数值不稳定。

因此，我们解数值问题时，应选择和使用数值稳定的计算方法。否则，如果使用数值不稳定的计算方法去解数值计算问题，就可能导致计算失败。

等价不一定等效

2.例题

四、矩阵三角分解法

1.定义（LU分解）

这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形
矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要定理。 LU分解

下面是本章最重要的公式！！！

2.例题（求方程的解和矩阵的逆）

3.定义（Doolittle分解和Crout分解）

这里×矩阵P的原因是提取主元素，即高斯主元素消去法

4.定义（平方根法，Cholesky分解）

平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法, 对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵LU分解的一半. 且Cholesky分解具有数值稳定性。

5.定义（追赶法）

需要记忆

将上面公式带入运算即可。

五、向量和矩阵的范数

1.定义（矩阵有四个范数）

这里的答案是可以的证明如下：

2.定义（谱半径）

六、知识结构图

七、作业及答案