CF - C. Card Game（博弈，递推）

https://codeforces.com/contest/1739/problem/C

题意
一共 n 张卡片，每张卡片上标有一个数字，标号从 1 到 n 各不相同，分给 Alice 和 Bob 各 n/2 张。
一共 n/2 轮操作，Alice 和 Bob 两个玩家轮流作为先手，初始 Alice 作为第一轮先手。

对于每一轮来说：

• 先手打出一张牌，后手要打出标号大于其的一张牌。如果不存在，那么后手输。

如果 n/2 轮结束时，未出胜负，那么平局。

两者都按最优策略操作。
问，最终在 Alice赢，Bob赢，平局 三种情况下，n 张卡片的分配方案各有多少？

思路
首先需要知道，一个玩家如果作为先手的话，一定会打出其拥有的最大牌，要么直接胜利，要么把对方更大的牌引出来，尽量保证自己下一局的安全。

然后尝试讨论所有情况：

如果 Alice 有最大牌 n，Alice 在第一轮就赢，分配方案 $C_{n-1}^{\frac{n}{2}-1}$；

否则 Bob 有最大牌 n：

• Bob 有次大牌 n-1，Bob 必赢。Alice无法在第一轮用次大牌把最大牌引出来，第二局Bob 打出最大牌，Alice 必输；
• Alice 有次大牌 n-1：
  那么 Alice 能挺过第一轮，然后到第二轮 Bob 先手。
  1.如果 Bob 有 n-2，Bob 必赢。此时剩余牌中最大的为 n-2，Alice 无牌可出；
  2.如果 Alice 有 n-2，就要看 Bob 能不能有次大的 n-3 把这个最大的 n-2 引出来。
  　在这种情况下：
  　如果 Alice 又有 n-3 的话，n-2 就用不到，留到下一局打出来 Alice 必赢；
  　如果 Bob 有 n-3 的话，Alice 就要打出 n-2，此时这两局平局。然后发现刚好用掉了最大的 4 张牌，就可以递推到 n-4 的情况下，同样这样考虑。

然后根据样例发现，平局的情况只有一种，两个人轮流分牌的情况，所以可以把 Alice 赢的所有方案求出来，用总方案数减去平局和Alice赢的方案数就是Bob赢的方案数。

如果定义 i 个卡牌时，Alice赢的方案数一共 f[i]，那么对于 n 个卡牌时，Alice 赢的方案数就是：$C_{n-1}^{\frac{n}{2}-1}+C_{n-4}^{\frac{n}{2}-3}+f[n-4]$。

从小到大遍历所有 i，用前面的答案更新当前答案。
初始化 f[2] = 1。

Code

#include
using namespace std;

#define Ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)

const int N = 200010, mod = 998244353;
int T, n, m;
int C[70][70];
int f[N];

signed main(){
	Ios;
	
	for(int i=0;i<=60;i++)
		for(int j=0;j<=60;j++)
		{
			if(!j) C[i][j] = 1;
			else C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
		}
	
	f[2] = 1;
	for(int i=2;i<=60;i++)
	{
		if(i % 2) continue;
		f[i] = (C[i-1][i/2 - 1] + C[i-4][i/2 - 3] + f[i - 4]) % mod;
	}
	
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		cin >> n;
		cout << f[n] << " " << (C[n][n/2] - f[n] - 1 + mod) % mod << " " << 1 << endl;
	}
	
	return 0;
} 

---

场上没有把所有情况都考虑清楚，只想到次大值就开始求方案，想把方案数一次性求出来，然后发现求不出来。。
完全没有想到递推。。