匈牙利算法

$$匈牙利算法$$

定义与最大匹配

匈牙利算法就是用来$二分图的最大匹配问题$。该算法是匈牙利的一个数学家$Edmonds$提出的，所以被后人称之为匈牙利算法。

$最大匹配..？$
通俗一点来讲就是，对于一个二分图，①.所有的边都是两个点集合之间的。②.$一个边所连的两个点只能拥有当前这条边，不能够在连接其他的边了$。
满足这两个条件之后，求这样的边的条数。

算法流程

把二分图左右两侧的点的集合分成$n_1$和$n_2$，执行算法流程：

for(每一个n1中的点)
{
    for(遍历到当前n1中的点n1'所相连的n2中的点n2')
    {
        if(n2'现有的连接可以调整)
        {
            match[n2'] = n1';
            res++;          //匹配数            
            匹配成功返回
        }
        else 
            匹配失败
    }
}
return res;

样例模拟

解释：一开始黑$1$连接了红$1$和红$2$，那么黑$1$就已经默认匹配好了对方的红$1$，变为灰线。之后黑$2$进行匹配，黑$2$优先进行与红$1$进行匹配，发现红$1$已经有了匹配，于是溯源到黑$1$，看黑$1$可不可以调整一下匹配，使得黑$2$与红$1$进行匹配成功，答案是可以的。黑$1$还可以与红$2$进行匹配，于是调整一下，最后优化成为了黑$1$匹配红$2$，黑$2$匹配红$1$。优化完成。

算法实现

$h[N],e[M],ne[M],idx$：邻接表组件，老生常谈。
$match[N]$：匹配函数,$match[j]=a$表示右侧$j$对应的匹配是左侧的$a$点。
$st[N]$：标志右侧的点有没有对应左侧的匹配成功。

$Key:Find(寻找左侧点的一个右侧匹配，返回是否成功)$

bool Find(int x)        //输入的参数是左侧的点
{
    for(int i = h[x] ; i != -1 ; i = ne[i])     //遍历左侧点相邻的所有右侧点
    {
        int j = e[i];
        
        if(!st[j])              //如果右侧点没有确定匹配
        {
            st[j] = true;       //置成已经匹配成功的状态
            if(match[j] == 0 || find(match[j])  
            //如果这个右侧点没有匹配或者对应之前左侧点的匹配能够调整
            {
                match[j] = x;       //这个右侧点的匹配置为当前的左侧点
                return ture;
            }
        }
    }
    
    return false;
}

完整代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510 , M = 100010;

int n1,n2,m;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a,int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

bool find(int x)
{
    for(int i = h[x] ; i != -1 ; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if(match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    
    return false;
}


int main ()
{
    cin >>n1 >> n2 >> m;
    
    memset(h,-1,sizeof(h));
    
    while(m--)
    {
        int a,b;
        
        cin >> a >>b;
        
        add(a,b);
    }
    
    int res = 0;
    
    for(int i = 1 ; i <= n1 ; i++)
    {
        memset(st,false,sizeof(st));
        if(find(i))
            res++;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}