01背包问题

目录

一、前言

二、01背包

1、问题描述

2、基本思路

3、优化空间复杂度

三、题例

1、上链接

2、题目分析

3、代码

（1）C++

（2）python——二维朴素写法

（3）python——一维空间优化写法

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一、前言

对于学计算机的同学来说，学习算法是一件非常重要的事情，废话不多讲，我们来讲讲“01背包问题”。

二、01背包

何谓01背包，对于每个要放入背包的物品，只需要考虑放与不放两种选择。如果不选择将其放入背包中，则不需要处理，视为0，反之视为1。

1、问题描述

有N件物品和一个容量为V的背包。放入第 i 件物品耗费的费用（体积）是 Ci，得到的价值是 Wi。求：将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

2、基本思路

​01背包是最基础的背包问题，特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

我们第一反应要想到用子问题来定义状态：即 dp[i][v] 表示前 i 件物品放入一个容量为 v 的背包中可以获得的最大价值。其状态转移方程为：

dp[i][v] = max(dp[i - 1][v], dp[i - 1][v - c[i]] + w[i]);

该方程理解起来非常简单，来解释一下，实际上直接看方程也能大致知道想表达什么。

“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前 i - 1 件物品相关的问题。如果不放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i - 1 件物品放入容量为 v 的背包中”，价值为 dp[i- 1][v]；如果放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i − 1 件物品放入剩下的容量为 v − Ci 的背包中”，此时能获得的最大价值就是 dp[i − 1][v − Ci] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 Wi。

​据说这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都可以由它衍生出来。

最后稍微思考一下可得到递推式逻辑：

（不能装）如果 当前背包容量V[i] < 待装物品体积C[i] ，则 dp[i][v]=dp[i-1][v] 

（能装，决策装不装）否则 dp[i][v] = max(dp[i - 1][v], dp[i - 1][v - c[i]] + w[i])

补充：动态规划法与分治法的区别

动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案记录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

3、优化空间复杂度

本文着重让读者明白何谓01背包以及解01背包的基本算法思路，将空间二维优化为空间一维需要更好的基础，写了可能读者在比赛或机考时不一定能用得上，综合考虑后决定还是不写，感兴趣的兄弟可以找其他博客阅读阅读，或者到下面例题的题解里面搜寻想要的解释。

三、题例

1、上链接

2. 01背包问题 - AcWing题库

2、题目分析

这是一道模板题，直接套模板即可。

3、代码

（1）C++

#include 
using namespace std;
 
const int MAXN=1003;
int V[MAXN];    //每个背包的体积
int W[MAXN];    //每个背包的价值
int dp[MAXN][MAXN];    //dp[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
 
int main() {
    int n,v;
    cin>>n>>v;
 
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>V[i]>>W[i];
 
    for(int i=1;i<=n;++i){       //该层循环为了遍历每个背包
        for(int j=1;j<=v;++j){      //为了填表中的每一行，得到在背包任意体积下的最优解，填表见下图
            if(j
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V[i]]+W[i]);
        }
    }
 
    cout<
    return 0;
}
/* 补充：
 * 当前的状态依赖于之前的状态，我们可以默认为从初始状态（边界） dp[0][j] = dp[i][0] = 0开始决策，
 * 有 N 件物品，则需要 N 次决策，每一次对第 i 件物品的决策，状态dp[i][j]不断由之前的状态更新而来。
 * 显然，当只有 0 件物品的时候，或者背包最大容量为 0 的时候， dp[0][j] = dp[i][0] = 0
 * */

（2）python——二维朴素写法

MAXN=1003
dp=[[0]*MAXN for i in range(MAXN+1)] #注意创建二维数组是这样子
V=[0]*MAXN
W=[0]*MAXN
 
# test=[[0]*MAXN]*MAXN   #这样创数组有错误
# print(test[10][10])
 
n,v=map(int,input().split())
 
for i in range(1,n+1):
    V[i],W[i]=map(int,input().split())
 
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,v+1):
        if j
            dp[i][j]=dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V[i]]+W[i])
 
print(dp[n][v])

（3）python——一维空间优化写法

MAXN=1003
dp=[0]*MAXN
V=[0]*MAXN
W=[0]*MAXN
 
n,v=map(int,input().split())
 
for i in range(1,n+1):
    V[i],W[i]=map(int,input().split())
 
for i in range(1,n+1):
    for j in range(v,0,-1):
        if j
            dp[j]=dp[j]
        else:
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-V[i]]+W[i])
 
print(dp[v])
 
# dp=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,21]
# for i in range(12,-1,-1):   #这样是逆序输出全部元素
#     print(dp[i],end=" ")

一维为何要这样写呢？先上一张图。

 懂的人自然懂，不懂的人仔细思考一下也会懂~

以上，01背包，更多内容可到Acwing讨论区学习。

祝好，加油！