【概率论与数理统计】【线性代数】计算机保研复习

我他妈写一上午了直接没了，这狗csdn，别在已发布的文章上改，辣鸡玩意儿。

概率论与数理统计

1.基础

事件独立：P(AB)=P(A)P(B) ；
古典概型：有限、等可能、最简单；
几何概型：无限、有限的几何区域、等可能；
伯努利概型：每次实验独立，只有A与$\overline{A}$两种结果；
条件概率：A在已知B发生了的概率，称为在B发生下A的条件概率；
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A)-P(A $\overline{B}$) ；
全概率公式：P(A)=P(A|B₁)P(B₁)+……+P(A|B_n)P(B_n)
B₁……B_n是对样本空间的划分，A是其上的一个事件；为了把导致A发生的概率找全；
二项式定理：
P_n(k)=C^k_np^kq^n-k
A在n次实验中发生k次的概率。

2.贝叶斯公式

$$P(Bi|A)=\frac{P(A|Bi)P(Bi)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A|Bj)P(Bj)}$$
上面是乘法公式，下面是全概率公式，证明：
$$P(Bi|A)=\frac{P(BiA)}{P(A)}$$

1. 条件概率公式：原因发生—>结果（由原因推出结果）
   （先验概率公式：根据经验，或者叫做根据已知的数据推出来）
2. 全概率公式：我们很好由已知的数据求得P(Ci)，但是很难求得P(x)，故可以转化为：P(x)=（i从1–>n求和）(P(xCi))；
3. 贝叶斯公式（后验概率公式）：已知结果，反推原因出现的可能性。比如已知某个类具有某种属性，那么它属于哪个类别（具有标签），这种就是后验概率。
4. 贝叶斯公式用于机器学习中的贝叶斯分类模型，主要是用训练数据去学习一个模型(模型计算出所有的P(Ci)、P(ai|Ci)、P(ai)，ai表示的是具体的属性)，然后每个待分类的测试样本用贝叶斯进行分类，根据其拥有的属性去计算P(Ci|x)中值最大的那个Ci即可。

全概率是用原因推结果，贝叶斯是用结果推原因。

先验概率（prior probability）：指根据以往经验和分析。在实验或采样前就可以得到的概率。事情未发生，只根据以往数据统计，分析事情发生的可能性，即先验概率。P(B_i) ；B_i
是该事件若干可能的前提。
后验概率（posterior probability）：指某件事已经发生，想要计算这件事发生的原因是由某个因素引起的概率。事情已发生，已有结果，求引起这事发生的因素的可能性，由果求因，即后验概率。
P(B_i|A)；已知结果A，对前提B_i的重新计算。

3.大数定律（Law of the large numbers）

它告诉我们在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的概率近似于它出现的频率。揭示了平均结果的稳定性。大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。

4.中心极限定理

指的是（在一定条件下，随机变量个数比较多时）相互独立的随机变量之和近似服从正态分布。

1. 所以n个独立同分布的随机变量之和服从正态分布。---->变形之后可以服从标准正态分布。
2. 列维中心极限定理：n个独立同分布随机变量之和。
3. 拉普拉斯中心极限定理：n次独立重复实验，事件A发生的次数。

大数定律更关注的是样本均值，中心极限定理关注的是样本均值的分布

5.最大似然估计

一种参数估计方法。利用已知的样本，找出最有可能生成该样本的参数。最大似然估计的思想在于，对于给定的观测数据x，我们希望能从所有的参数中找出能最大概率生成观测数据x的参数作为估计结果。

6. 期望、方差和协方差

期望：随机变量的均值；大数定律指出如果样本足够的话，样本均值会无限接近数学期望。它反映随机变量平均取值的大小。
方差：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。衡量一组数据的离散程度，度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
协方差：X, Y 的协方差等于每一个 X 减去 X 平均值乘上每一个 Y 减去 Y 平均值的乘积的和的平均。协方差表示的是两个变量总体误差的期望。

面试题

1.正态分布的和还是正态分布吗：

是，正态分布的可加性。

2.先验概率与后验概率：

先验概率是根据之前数据得到的概率，分析事件发生的可能性；
后验概率是事件已经发生，想要计算导致它发生的原因。

3.贝叶斯公式：
已知结果，反推原因。后验概率，乘法公式和全概率公式推导。

线性代数

1.秩☆

矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数；
满秩矩阵：秩数等于矩阵阶数；
秩就是矩阵线性无关列（行）向量的最大数目。
行秩等于列秩。
向量组的秩定义为向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
任何矩阵的行空间的维数等于矩阵的列空间的维数等于矩阵的秩。

2. 行列式

行列式，是一个将方阵 A 映射到实数的函数。
行列式等于矩阵特征值的乘积。
n阶行列式：所有取自不同行不同列的n个元乘积的代数和即为n阶行列式的值。
二维的矩阵，它的行列式代表的是面积变化，对于三维来讲，行列式代表的就是体积变化。

3.线性相关性

对于线性空间中的n个向量，假如存在n个常数使得这n个常数与n个向量对应乘积加合等于0，则称这n个向量线性相关，如果不存在这样的n个常数，称之为线性无关。（n个常数不全为0）

4.向量空间

向量相加和数乘之后还在该空间内，则它们属于一个向量空间。

在线性空间V中可以找到n个向量，这n个向量线性无关，并且线性空间V中的任意一个向量都和这n个向量线性相关，那么这n个向量就称作线性空间V的基。

5. 特征值与特征向量☆

对方阵 A 满足：Ax=λx，其中 x 为非零向量，则称 x 为特征向量，λ 为特征值。
一个特征值可能对应多个特征向量，一个特征向量只能属于一个特征值。
矩阵可以说是一个变换，它作用于特征向量x时，x的方向不变，只进行缩放变换，缩放大小由特征值决定。
特征向量提供了复杂的矩阵乘法到简单的数乘之间的转换！

6.正交

矩阵正交：两矩阵相乘为0.
正交矩阵：矩阵的转置和矩阵的乘积=单位阵，那么这个矩阵就是正交矩阵，它的列向量组一定是标准正交向量组。
向量正交：相乘为0.

面试题

经典面试题：线性代数