矩阵的运算规则

1 矩阵的加法

定义1　设有两个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 和 $\mathbf{B}=(b_{ij})$，那么 矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的和 记作 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$，规定为
A + B = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ) \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} =

A+B= ​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​ ​
只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵的加法运算满足下列运算规律（设 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$ 都是 $m\times n$ 矩阵）：

• $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$；
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$。

设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，记 $-\mathbf{A}=(-a_{ij})$，$-\mathbf{A}$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的负矩阵，显然有
$$\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=0$$
于是有矩阵减法的定义如下：

定义2　规定矩阵的减法为
$$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B})$$

2 数与矩阵相乘

定义3　数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积记作 $\lambda \mathbf{A}$ 或 $\mathbf{A}\lambda$，规定为
λ A = A λ = ( λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ) \lambda \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} \lambda =

λA=Aλ= ​λa11​λa21​⋮λam1​​λa12​λa22​⋮λam2​​⋯⋯⋯​λa1n​λa2n​⋮λamn​​ ​
数乘矩阵满足下列运算规律（设 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 为 $m\times n$ 矩阵，$\lambda$、$\mu$ 为数）：

• $(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})$；
• $(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}$；
• $\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}$。

矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

3 矩阵与矩阵相乘

定义4　设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是一个 $m\times s$ 矩阵，$\mathbf{B}=(b_{ij})$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，那么规定 矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{B}$ 的乘积 是一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{C}=(c_{ij})$，其中
$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$$
并将此乘积记作
$$\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}$$
以上定义表明，矩阵 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{C}$ 的 $(i,j)$ 元 $c_{ij}$ 就是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与 $\mathbf{B}$ 的第 $j$ 列的乘积。

需要注意的是：

• 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；
• 矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，$\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$；
• 若有两个矩阵 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$，不能得出 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 或 $\mathbf{B}=\mathbf{O}$ 的结论。

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍然满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：

• $(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})$；
• $\lambda (\mathbf{A}\mathbf{B})=(\lambda \mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{B})$（其中 $\lambda$ 为数）；
• $\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}$，$(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}$。

3.1 单位矩阵的乘法

对于单位矩阵 $E$，容易验证
$${\mathbf{E}}_m{\mathbf{A}}_{m\times n}={\mathbf{A}}_{m\times n},{\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{E}}_n={\mathbf{A}}_{m\times n}$$
或简写成
$$\mathbf{E}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{E}=\mathbf{A}$$
可见单位矩阵 $E$ 在矩阵乘法中的作用类似于数 $1$。

3.2 纯量阵

矩阵
λ E = ( λ λ ⋱ λ ) \lambda \boldsymbol{E} =

λE= ​λ​λ​⋱​λ​ ​
称为 纯量阵。由 $(\lambda \mathbf{E})\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}$，$\mathbf{A}(\lambda \mathbf{E})=\lambda \mathbf{A}$，可知纯量阵 $\lambda \mathbf{E}$ 于矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积等于数 $\lambda$ 与 $\mathbf{A}$ 的乘积。

当 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵时，有
$$(\lambda {\mathbf{E}}_n){\mathbf{A}}_n=\lambda {\mathbf{A}}_n={\mathbf{A}}_n(\lambda {\mathbf{E}}_n)$$
表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。

3.3 矩阵的幂

根据矩阵的乘法，定义矩阵的幂。设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，定义
$${\mathbf{A}}^1=\mathbf{A},{\mathbf{A}}^2={\mathbf{A}}^1{\mathbf{A}}^1,\cdots ,{\mathbf{A}}^{k+1}={\mathbf{A}}^k{\mathbf{A}}^1$$
其中 $k$ 为正整数，这就是说，${\mathbf{A}}^k$ 就是 $k$ 个 $\mathbf{A}$ 连乘。显然只有方阵的幂才有意义。

由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：

• ${\mathbf{A}}^k{\mathbf{A}}^l={\mathbf{A}}^{k+l}$；
• $({\mathbf{A}}^k{)}^l={\mathbf{A}}^{kl}$。

其中 $k$、$l$ 为正整数。

需要注意的是：对于两个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$，一般来说 $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^k\ne {\mathbf{A}}^k{\mathbf{B}}^k$，只有当 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 可交换时，才有 $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^k={\mathbf{A}}^k{\mathbf{B}}^k$。

4 矩阵的转置

定义5　把矩阵 $\mathbf{A}$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $\mathbf{A}$ 的 转置矩阵，记作 ${\mathbf{A}}^T$。

矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：

• $({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}$；
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T$;
• $(\lambda \mathbf{A}{)}^T=\lambda {\mathbf{A}}^T$；
• $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$。

性质　$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$。

证明　设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times s}$、$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{s\times n}$，记 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{C}=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，${\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T=\mathbf{D}=(d_{ij}{)}_{n\times m}$，于是有
$$c_{ji}=\sum _{k=1}^s=a_{jk}{b}_{ki}$$
而 ${\mathbf{B}}^T$ 的第 $i$ 行为 $(b_{1i},\cdots ,b_{si})$，${\mathbf{A}}^T$ 的第 $j$ 列为 $(a_{j1},\cdots ,a_{js})$，因此
$$d_{ij}=\sum _{k=1}^s{b}_{ki}{a}_{jk}=\sum _{k=1}^s{a}_{jk}{b}_{ki}$$
所以
$$d_{ij}=c_{ji}(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,m)$$
即 $\mathbf{D}={\mathbf{C}}^T$，亦即 ${\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T=(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T$。

4.1 对称矩阵

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵，如果满足 ${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$，即
$$a_{ji}=a_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$$
那么 $\mathbf{A}$ 称为 对称矩阵，简称 对称阵。对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

5 方阵的行列式

定义6　由 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为 方阵 $\mathbf{A}$ 的行列式，记作 $\det \mathbf{A}$ 或 $|\mathbf{A}|$。

应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，$n$ 阶方阵是 $n^2$ 个数按一定方式排成的数表，而 $n$ 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

由 $\mathbf{A}$ 确定 $|\mathbf{A}|$ 的这个运算满足下列运算规律（设 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 为数）：

• $|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$；
• $|\lambda \mathbf{A}|={\lambda }^n|\mathbf{A}|$；
• $|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。

需要注意的是：对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$，一般来说 $\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$，但总有
$$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{B}\mathbf{A}|$$
性质：$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

证明　设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times n}$。记 $2n$ 阶行列式
D = ∣ a 11 ⋯ a 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n 0 ⋯ 0 − 1 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ − 1 b n 1 ⋯ b n n ∣ = ∣ A O − E B ∣ D =

= D= ​a11​⋮an1​−1⋮0​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ann​0⋮−1​0⋮0b11​⋮bn1​​⋯⋯⋯⋯​0⋮0b1n​⋮bnn​​ ​= ​A−E​OB​ ​
由 “阶梯状行列式的性质” 可知，$D=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。现将 $D$ 中以 $b_{11}$ 乘第 $1$ 列，$b_{21}$ 乘第 $2$ 列，……，$b_{n1}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $n+1$ 列上；再以 $b_{12}$ 乘第 $1$ 列，……，$b_{n2}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $n+2$ 列上；……；最后以 $b_{1n}$ 乘第 $1$ 列，……，$b_{nn}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $2n$ 列上，即
D = c n + 1 + b 11 c 1 + ⋯ b n 1 c n ∣ a 11 ⋯ a 1 n a 11 b 11 + a 12 b 21 + ⋯ + a 1 n b n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n a n 1 b 11 + a n 2 b 21 + ⋯ + a n n b n 1 ⋯ 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ − 1 0 ⋯ b n n ∣ ⋯ = c 2 n + b 1 n c 1 + ⋯ b n n c n ∣ a 11 ⋯ a 1 n a 11 b 11 + a 12 b 21 + ⋯ + a 1 n b n 1 ⋯ a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + ⋯ + a 1 n b n n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n a n 1 b 11 + a n 2 b 21 + ⋯ + a n n b n 1 ⋯ a n 1 b 1 n + a n 2 b 2 n + ⋯ + a n n b n n − 1 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ − 1 0 ⋯ 0 ∣ = ∣ A X − E O ∣

D\xlongequalcn+1+b11c1+⋯bn1cn|a11⋯a1na11b11+a12b21+⋯+a1nbn1⋯0⋮⋮⋮⋮an1⋯annan1b11+an2b21+⋯+annbn1⋯0−1⋯00⋯b1n⋮⋮⋮⋮0⋯−10⋯bnn|⋯\xlongequalc2n+b1nc1+⋯bnncn|a11⋯a1na11b11+a12b21+⋯+a1nbn1⋯a11b1n+a12b2n+⋯+a1nbnn⋮⋮⋮⋮an1⋯annan1b11+an2b21+⋯+annbn1⋯an1b1n+an2b2n+⋯+annbnn−1⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮0⋯−10⋯0|=|AX−EO|" role="presentation" style="position: relative;">D\xlongequalcn+1+b11c1+⋯bn1cn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮an1−1⋮0⋯⋯⋯⋯a1n⋮ann0⋮−1a11b11+a12b21+⋯+a1nbn1⋮an1b11+an2b21+⋯+annbn10⋮0⋯⋯⋯⋯0⋮0b1n⋮bnn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⋯\xlongequalc2n+b1nc1+⋯bnncn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮an1−1⋮0⋯⋯⋯⋯a1n⋮ann0⋮−1a11b11+a12b21+⋯+a1nbn1⋮an1b11+an2b21+⋯+annbn10⋮0⋯⋯⋯⋯a11b1n+a12b2n+⋯+a1nbnn⋮an1b1n+an2b2n+⋯+annbnn0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣A−EXO∣∣∣$$\begin{array}{rl}D& \text{xlongequal}{c}_{n+1}+b_{11}{c}_1+\cdots b_{n1}{c}_n\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+\cdots +a_{1n}{b}_{n1}& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}& a_{n1}{b}_{11}+a_{n2}{b}_{21}+\cdots +a_{nn}{b}_{n1}& \cdots & 0\\ -1& \cdots & 0& 0& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & -1& 0& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|\\ & \cdots \\ & \text{xlongequal}{c}_{2n}+b_{1n}{c}_1+\cdots b_{nn}{c}_n\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}+\cdots +a_{1n}{b}_{n1}& \cdots & a_{11}{b}_{1n}+a_{12}{b}_{2n}+\cdots +a_{1n}{b}_{nn}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}& a_{n1}{b}_{11}+a_{n2}{b}_{21}+\cdots +a_{nn}{b}_{n1}& \cdots & a_{n1}{b}_{1n}+a_{n2}{b}_{2n}+\cdots +a_{nn}{b}_{nn}\\ -1& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & -1& 0& \cdots & 0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{X}\\ -\mathit{E}& \mathit{O}\end{array}\right|\end{array}$$

D​cn+1​+b11​c1​+⋯bn1​cn​ ​a11​⋮an1​−1⋮0​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ann​0⋮−1​a11​b11​+a12​b21​+⋯+a1n​bn1​⋮an1​b11​+an2​b21​+⋯+ann​bn1​0⋮0​⋯⋯⋯⋯​0⋮0b1n​⋮bnn​​ ​⋯c2n​+b1n​c1​+⋯bnn​cn​ ​a11​⋮an1​−1⋮0​⋯⋯⋯⋯​a1n​⋮ann​0⋮−1​a11​b11​+a12​b21​+⋯+a1n​bn1​⋮an1​b11​+an2​b21​+⋯+ann​bn1​0⋮0​⋯⋯⋯⋯​a11​b1n​+a12​b2n​+⋯+a1n​bnn​⋮an1​b1n​+an2​b2n​+⋯+ann​bnn​0⋮0​ ​= ​A−E​XO​ ​​

其中 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{X}=(x_{ij})$，因 $x_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$，知 $\mathbf{X}=\mathbf{A}\mathbf{B}$。再对上式最后一个行列式作 $n$ 次行对换：$r_1\leftrightarrow r_{n+1}$，$r_2\leftrightarrow r_{n+2}$，……，$r_n\leftrightarrow r_{2n}$，得
D = ( − 1 ) n ∣ − E O A X ∣ = ( − 1 ) n ∣ E ∣ ∣ X ∣ = ( − 1 ) n ( − 1 ) n ∣ X ∣ = ∣ X ∣ = ∣ A B ∣ D = (-1)^n

= (-1)^n |\boldsymbol{E}| |\boldsymbol{X}| = (-1)^n (-1)^n |\boldsymbol{X}| = |\boldsymbol{X}| = |\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| D=(−1)n ​−EA​OX​ ​=(−1)n∣E∣∣X∣=(−1)n(−1)n∣X∣=∣X∣=∣AB∣
得证。

5.1 伴随矩阵

行列式 $|\mathbf{A}|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) \boldsymbol{A}^* =

A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​
称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 伴随矩阵，简称 伴随阵。

性质1　$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$。

证明　设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，记 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{=}(b_{ij})$，则
b i j = a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = { ∣ A ∣ , i = j 0 , i ≠ j b_{ij} = a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} + \cdots + a_{in} A_{jn} =

bij​=ai1​Aj1​+ai2​Aj2​+⋯+ain​Ajn​={∣A∣,0,​i=ji=j​
故
A A ∗ = ( ∣ A ∣ ∣ A ∣ ⋱ ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^* =

(|A||A|⋱|A|)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜|A||A|⋱|A|⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}|\mathit{A}|& & & \\ & |\mathit{A}|& & \\ & & \ddots & \\ & & & |\mathit{A}|\end{array}\right)$$

= |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} AA∗= ​∣A∣​∣A∣​⋱​∣A∣​ ​=∣A∣E
类似有
$${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$$