【模拟电路建模与控制系统分析】01Laplace变换

0.若没有拉氏变换会怎样？

• 根据上述微分方程，求输入输出关系，即求解微分方程。
  
• 以上为一个卷积关系，求解设计卷积、微分方程，求解困难。
• 而拉氏变换将微分方程变成代数方程，得出系统传递函数，卷积运算变成了乘法运算，可以便于分析求解。

1.拉氏变换是什么？

• 公式：

• 时域：
  

• 拉氏变换为S域及其特例傅里叶变换：
  

• 零极点：
  
  

2.典型函数的拉氏变换

3.传递函数

微分方程：


传递函数为：

• 1.传递函数是复变量ss的有理真分数函数,具有复变函数的所有性质;m≤n,且所有系数为实数.
• 2.传递函数是一种系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式, 它只取决于系统或者原件的结构和参数,与输入输出的形式无关,引入不反映系统内部任何信息.
• 3.传递函数与微分方程具有相通性.
  
• 4.传递函数G(s)的拉氏逆变换是脉冲响应g(t).
  传递函数在零初始条件下定义, 其含义:
  

4.零极点

• 拉氏变换后得出传递函数，传递函数分母为零（一般而言）时可得极点，传递函数的极点就是对应微分方程的特征根，因此它们决定了系统自由运动的模态。
• 传递函数分子为零（一般而言）时可得极点，传递函数的零点不直接形成自由运动的模态，但会影响各模态在响应中的比重。模态在单位阶跃响应中的比重取决于极点之间的距离和极点与零点之间的距离。若极点与零点距离较远，相应模态占比重就大且零点作用明显。

画个零极点图可能比较好理解。

我们总是要求系统的（有限）零点数量小于等于（有限）极点数量。
解释：考虑一个简单的系统s，这是个微分器，当输入频率越来越大时，输出也将越来越大。为了避免这种情况，就有上面的要求。