二进制加减法计算

1.十进制下的计算

1.模数

假设下文【模】定义如下：某个可度量系统的度量范围
实际【模】在度量系统中无法表示，该值是系统溢出值，遇【模】则表示要进位了，系统可度量值为【模】的余数
如：
时：12 ------ 0,1,2,3…11
分：60 ------ 0,1,2,3…59
秒：60 ------ 0,1,2,3…59

2.补数

一个可确定范围的度量系统，取模为 12，为方便演示我们将其环形排列：

综上：当度量系统模为 12 时，4 和 8 互为补数，即 4 + 8 = 12
结论：在有模的度量系统中，减某个值等价于加上其补数（可能进位丢失），即将减法转为加法处理 此也为计算机处理二进制减法的做法

2.二进制数的存储

1.计算机计数

计算机用二进制表示数值，且规定内存的最高位作为符号位，用0表示正数，用1表示负数

如一个32位计算机，可以理解成 模 = 2^32 的度量系统，计数值超出 2^32 后则会溢出导致计算异常

又如Java中的Integer类型，长度为 4 字节，即 32 比特，除去最高位为符号位，其实际范围为：-2^31 ~ 2^31 - 1
1
2
3
4
5

2.原码

取整数绝对值转换为二进制：

±6 原码：00000000 00000000 00000000 00000110
1

3.反码

正整数反码为其本身（原码）
负整数反码为其原码按位取反：

Integer -6
-6 反码：11111111 11111111 11111111 11111001
1
2

补充：我们说计算机存储最高位为符号位，0 表示正，1表示负；那么以下结论是否正确

00000000 00000000 00000000 00000110 表示 +6
10000000 00000000 00000000 00000110 表示 -6 ？
1
2

验证：

public static void main(String[] args) {
   //+6
   System.out.println(0b00000000000000000000000000000110);
   //-6
   System.out.println(0b10000000000000000000000000000110);
}
1
2
3
4
5
6

结果：看来 -6 在计算机里不是如上表示的（先存疑）

4.补码

正整数补码为其本身（原码）
负整数补码为反码 + 1：

Integer -6
-6 补码：11111111 11111111 11111111 11111010
1
2

验证：

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(Integer.toBinaryString(-6));
}
1
2
3

结果：由此可见负数在计算机上是以其反码形式存储的

3.二进制计算

1.中位对称

2.循环进位

上述系统均为正整数，如果存在负数呢？
0 ~ 15 共 16 个正整数，对称的情况下引入 16 个负整数，即：-16 到 -1
此时，系统内最小的数为：-16，则在进位的情况下，15 下一个数应为 -16
用二进制表示为：1111 + 1 = 10000 ，如果不存在负数，进一位相当于从头循环，即 0 -> 1 -> 2 -> … -> 15 正好 16 个数，此时如果我们用高位表示符号，则 0 为正，1 为负，分别表示 0 到 15 和 -16 到 -1

环形表示如下：

计算 6 - 8 => 6 + (32 - 8) => 24在圆环的位置是：-8
则 6 - 8 = 0 0110 + 1 1000 = 1 1110 => -2

3.二进制减法推算

假设一个 4 位的计算机（无符号），其度量范围即：2^4 =16
我们知道减去一个数等于加上它的补数：8 - 6 = 8 + (16 - 6)
二进制表示如下：1000 + ((1 + 1111) - 0110)
=> 1000 + (1 + (1111 - 0110))
取反得到 6 的反码，+ 1 即 补码
=> 1000 + (1 + 1001) => 1000 + 1010 => 1 0010
高位溢出，剩余 0010 正好是 8 - 6 = 2

4.结论

综上：负数在计算机内是直接以其补码形式存储的，做减法时直接用：
被减数的源码 + 减数的补码 = 结果