sklearn机器学习——day08

 支持向量机

 

支持向量机（SVM，也称为支持向量网络），是机器学习中获得关注最多的算法没有之一

源于统计学原理，SVM是最接近深度学习的机器学习算法

支持向量机分类器工作原理

支持向量机的分类方法，是在这组分布中找出一个超平面作为决策边界，使模型在数据上的 分类误差尽量接近于小，尤其是在未知数据集上的分类误差（泛化误差）尽量小

线性SVC的损失函数

决策边界：

                                                       

使用这个表达式来表示我们的决策边界,

参数向量 的方向必然是垂直于我们的决策边界     

 函数间隔与几何间隔

线性SVM的拉格朗日对偶函数和决策函数 

 将约束条件加到方程中

 拉格朗日函数也分为两部分。第一部分和我们原始的损失函数一样，第二部分呈现了我们带有不等式的约束条件。 我们希望， 不仅能够代表我们原有的损失函数 和约束条件，还能够表示我们想要最小化损失函数来 求解 和 的意图

拉格朗日对偶函数 

 

由于两个求偏导结果中都带有未知的拉格朗日乘数 ，因此我们还是无法求解出 和 ，我们必须想出一种方法来 求解拉格朗日乘数 。幸运地是，拉格朗日函数可以被转换成一种只带有 ，而不带有 和 的形式，这种形式被 称为拉格朗日对偶函数。在对偶函数下，我们就可以求解出拉格朗日乘数 ，然后带入到上面推导出的(1)和(2)式 中来求解 和 。

对偶差异(dual gap)，即拉格朗日函数的最优解与其对偶函数的最优解 之间的差值： 

 线性SVM可视化

from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.svm import SVC
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
X,y = make_blobs(n_samples=50, centers=2, random_state=0,cluster_std=0.6)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
#首先要有散点图
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
ax = plt.gca() #获取当前的子图，如果不存在，则创建新的子图
#获取平面上两条坐标轴的最大值和最小值
Tsai 
 
#首先要有散点图
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
ax = plt.gca() #获取当前的子图，如果不存在，则创建新的子图
 
#获取平面上两条坐标轴的最大值和最小值
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
#在最大值和最小值之间形成30个规律的数据
axisx = np.linspace(xlim[0],xlim[1],30)
axisy = np.linspace(ylim[0],ylim[1],30)
axisy,axisx = np.meshgrid(axisy,axisx)
#我们将使用这里形成的二维数组作为我们contour函数中的X和Y
#使用meshgrid函数将两个一维向量转换为特征矩阵
#核心是将两个特征向量广播，以便获取y.shape * x.shape这么多个坐标点的横坐标和纵坐标
xy = np.vstack([axisx.ravel(), axisy.ravel()]).T
#其中ravel()是降维函数，vstack能够将多个结构一致的一维数组按行堆叠起来
#xy就是已经形成的网格，它是遍布在整个画布上的密集的点
plt.scatter(xy[:,0],xy[:,1],s=1,cmap="rainbow")
#理解函数meshgrid和vstack的作用
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([7,8])
#两两组合，会得到多少个坐标？
#答案是6个，分别是 (1,7),(2,7),(3,7),(1,8),(2,8),(3,8)
v1,v2 = np.meshgrid(a,b)
v1
v2
v = np.vstack([v1.ravel(), v2.ravel()]).T
#建模，通过fit计算出对应的决策边界
clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
Z = clf.decision_function(xy).reshape(axisx.shape)
#重要接口decision_function，返回每个输入的样本所对应的到决策边界的距离
#然后再将这个距离转换为axisx的结构，这是由于画图的函数contour要求Z的结构必须与X和Y保持一致
#画决策边界和平行于决策边界的超平面
ax.contour(axisx,axisy,Z
           ,colors="k"
           ,levels=[-1,0,1] #画三条等高线，分别是Z为-1，Z为0和Z为1的三条线
           ,alpha=0.5
           ,linestyles=["--","-","--"])
ax.set_xlim(xlim)
ax.set_ylim(ylim)
 
#记得Z的本质么？是输入的样本到决策边界的距离，而contour函数中的level其实是输入了这个距离
#让我们用一个点来试试看
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.scatter(X[10,0],X[10,1],c="black",s=50,cmap="rainbow")
clf.decision_function(X[10].reshape(1,2))
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
ax = plt.gca()
ax.contour(axisx,axisy,P
           ,colors="k"
           ,levels=[-3.33917354]
           ,alpha=0.5
           ,linestyles=["--"])
 
#将上述过程包装成函数：
def plot_svc_decision_function(model,ax=None):
    if ax is None:
        ax = plt.gca()
    xlim = ax.get_xlim()
    ylim = ax.get_ylim()
    
    x = np.linspace(xlim[0],xlim[1],30)
    y = np.linspace(ylim[0],ylim[1],30)
    Y,X = np.meshgrid(y,x) 
    xy = np.vstack([X.ravel(), Y.ravel()]).T
    P = model.decision_function(xy).reshape(X.shape)
    
    ax.contour(X, Y, P,colors="k",levels=[-1,0,1],alpha=0.5,linestyles=["--","-","--"]) 
    ax.set_xlim(xlim)
    ax.set_ylim(ylim)
#则整个绘图过程可以写作：
clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plot_svc_decision_function(clf)
 
clf.predict(X)
#根据决策边界，对X中的样本进行分类，返回的结构为n_samples
clf.score(X,y)
#返回给定测试数据和标签的平均准确度
clf.support_vectors_
#返回支持向量
clf.n_support_
#返回每个类中支持向量的个数
 
#推广到非线性情况
from sklearn.datasets import make_circles
X,y = make_circles(100, factor=0.1, noise=.1)
X.shape
y.shape
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plt.show()
clf = SVC(kernel = "linear").fit(X,y)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=y,s=50,cmap="rainbow")
plot_svc_decision_function(clf)
 
#为非线性数据增加维度并绘制3D图像
#定义一个由x计算出来的新维度r
r = np.exp(-(X**2).sum(1))
rlim = np.linspace(min(r),max(r),0.2)
from mpl_toolkits import mplot3d
#定义一个绘制三维图像的函数
#elev表示上下旋转的角度
#azim表示平行旋转的角度
def plot_3D(elev=30,azim=30,X=X,y=y):
    ax = plt.subplot(projection="3d")
    ax.scatter3D(X[:,0],X[:,1],r,c=y,s=50,cmap='rainbow')
    ax.view_init(elev=elev,azim=azim)
    ax.set_xlabel("x")
    ax.set_ylabel("y")
    ax.set_zlabel("r")
    plt.show()
    
plot_3D()