【题解】同济线代习题一.8.4

题目

计算下方行列式（$D_n$ 为 $n$ 阶行列式）：
$$D_{2n}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_n& & & & & b_n\\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & & a_1& b_1& & \\ & & c_1& d_1& & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & \\ c_n& & & & & d_n\end{array}\right|$$

解答

因为行列式等于其第一列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，所以有
$$D_{2n}=a_n\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{n-1}& & & & & b_{n-1}& \\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ & & a_1& b_1& & & \\ & & c_1& d_1& & & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & & \\ c_{n-1}& & & & & d_{n-1}& \\ & & & & & & d_n\end{array}\right|+c_n\left|\begin{array}{ccccccc}& & & & & & b_n\\ a_{n-1}& & & & & b_{n-1}& \\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & \\ & & a_1& b_1& & & \\ & & c_1& d_1& & & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & & \\ c_{n-1}& & & & & d_{n-1}& \end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1)}$$
在上式 $(1)$ 中，左侧的 $2n-1$ 阶行列式的第 $2n-1$ 列仅有 $d_n$ 一个元素，右侧的 $2n-1$ 阶行列式的第 $2n-1$ 列也仅有 $b_n$ 一个元素，因此将其这两个行列式写成第 $2n-1$ 列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，于是上式 $(1)$ 可以写成
$$D_{2n}=a_n{d}_n\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{n-1}& & & & & b_{n-1}\\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & & a_1& b_1& & \\ & & c_1& d_1& & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & \\ c_{n-1}& & & & & d_{n-1}\end{array}\right|+c_n{b}_n\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{n-1}& & & & & b_{n-1}\\ & \ddots & & & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& \\ & & a_1& b_1& & \\ & & c_1& d_1& & \\ & {\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}& & & \ddots & \\ c_{n-1}& & & & & d_{n-1}\end{array}\right|=(a_n{d}_n+c_n{b}_n)D_{2n-2}\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据上例归纳得到
$$D_{2n}=(a_n{d}_n+b_n{c}_n)(a_{n-1}{d}_{n-1}+b_{n-1}{c}_{n-1})\cdots (a_1{d}_1+b_1{c}_1)=\prod _{i=1}^n(a_i{d}_i+b_i{c}_i)$$