行列式的性质

前置知识：

• 对换对排列奇偶性的影响
• 【定义】n阶行列式

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引理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

证明见 “对换对排列奇偶性的影响”。

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行列式的性质1：行列式与它转置行列式相等

定义1　记
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1)}$$
行列式 $D^T$ 称为行列式 $D$ 的 转置行列式。

根据转置行列式的定义，在将行列式 $D$ 转置为 $D^T$ 时，$D$ 中的每一项都从以行标为标准排列转换为了以列标为标准排列。于是，我们直观地猜想，在转置的过程中，$D$ 中的每一项在 $D^T$ 中都有且仅有某一项与之对应并相等。于是，有性质及证明如下：

性质1　行列式与它的转置行列式相等。

证明

（a）对于乘积 $a_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{j{p}_j}\cdots a_{n{p}_n}$，将 $1\cdots i\cdots j\cdots n$ 称为行标排列，$p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n$ 称为列标排列。

不妨设行标排列 $1\cdots i\cdots j\cdots n$ 的逆序数为 $r_0$，列标排列 $p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n$ 的逆序数为 $t_0$。对换元素 $a_{i{p}_i}$ 和 $a_{j{p}_j}$ 后，新的行标排列 $1\cdots j\cdots i\cdots n$ 的逆序数为 $r_1$，根据引理 1 可知 $(-1{)}^{r_1}=-(-1{)}^{r_0}$；新的列标排列 $p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n$ 的逆序数为 $t_1$，根据引理 1 可知 $(-1{)}^{t_1}=-(-1{)}^{t_0}$。于是
$$(-1{)}^{r_1+t_1}=\left[-(-1{)}^{r_0}\right]\cdot \left[-(-1{)}^{t_0}\right]=(-1{)}^{r_0+t_0}$$
这就表明：对换乘积中任意两个元素，行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性不变。

（b）因为每一次对换乘积中的任意两个元素，行标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性都不变；所以经过多次对换后，奇偶性也不会改变。

于是得到：对于行列式 $D$ 的任一项 $(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$，不妨设其列标排列 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 的逆序数为 $t$；通过若干次对换其中任意两个元素，将其列标排列变为标准排列后，此时行标排列相应地从标准排列变为了某个新的排列，设此新排列为 $q_1{q}_2\cdots q_n$，其逆序数为 $s$，则 $t$ 和 $s$ 的奇偶性相同，即 $(-1{)}^t=(-1{)}^s$。

（c）在若干次对换行列式 $D$ 的任一项的过程中，其绝对值显然是不变的，于是有：
$$(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}=(-1{)}^s{a}_{q_{1}1}{a}_{q_{2}2}\cdots a_{q_{n}n}\text{\hspace{1em}(2)}$$
（d）在式 (2) 中，如果左边乘积的第 $i$ 个元素 $a_{i{p}_i}$ 为 $a_{ij}$，那么它必定是右边乘积的第 $j$ 个元素，即 $a_{i{p}_i}=a_{ij}=a_{q_{j}j}$。可见排列 $q_1{q}_2\cdots q_n$ 由排列 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 所唯一确定。

于是得到：行列式 $D$ 中的任一项 $(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$，总有且仅有 $D^T$ 中的某一项 $(-1{)}^s{a}_{q_{1}1}{a}_{q_{2}2}\cdots a_{q_{n}n}$ 与之对应并相等；反之，对于 $D^T$ 中的任一项 $(-1{)}^t{a}_{p_{1}1}{a}_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n}$，也总有且仅有 $D$ 中的某一项 $(-1{)}^s{a}_{1q_1}{a}_{2q_2}\cdots a_{n{q}_n}$ 与之对应并相等，于是 $D$ 与 $D^T$ 中的项可以一一对应并相等，从而 $D=D^T$。

当交换行列式中的两列后，行列式中任一项的行标排列不变，列标排列因两个元素对换改变了奇偶性而变号，行列式也会变号。因为行列式与它的转置行列式相等，所以交换行列式中的两行后，行列式也会变号。于是有性质及证明如下：

性质2：对换行列式的两行（列），行列式变号

性质2　对换行列式的两行（列），行列式变号。

证明　设行列式
$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$
是由行列式 $D=\det (a_{ij})$ 对换 $i,j$ 两列得到的。对整数 $p\in [1,n]$，当 $k\ne i,j$ 时，$b_{pk}=a_{pk}$；当 $k=i,j$ 时，$b_{pi}=a_{pj}$，$b_{pj}=a_{pi}$，于是
$$D_1=\sum (-1{)}^{t_0}{b}_{1p_1}\cdots b_{i{p}_i}\cdots b_{j{p}_j}\cdots b_{n{p}_n}=\sum (-1{)}^{t_0}{a}_{1p_1}\cdots a_{i{p}_j}\cdots a_{j{p}_i}\cdots a_{n{p}_n}$$
其中 $1\cdots i\cdots j\cdots n$ 为标准排列，$t_0$ 为排列 $p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n$ 的逆序数。设排列 $p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n$ 的逆序数为 $t_1$，根据引理 1 有 $(-1{)}^{t_1}=-(-1{)}^{t_0}$，于是
$$D_1=\sum (-1{)}^{t_0}{a}_{1p_1}\cdots a_{i{p}_j}\cdots a_{j{p}_i}\cdots a_{n{p}_n}=-\sum (-1{)}^{t_0}{a}_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{j{p}_j}\cdots a_{n{p}_n}=-D$$

因为行列式与它的转置行列式相等（性质 1），所以对换行列式 $D$ 的 $i,j$ 两列，等价于对换其转置行列式的 $i,j$ 两行，显然对换后得到的行列式 $D_1$ 满足 $D_1=-D$。

以 $r_i$ 表示行列式的第 $i$ 行，以 $c_i$ 表示第 $j$ 列。对换 $i,j$ 两行记作 $r_i\leftrightarrow r_j$，对换 $i,j$ 两列记作 $c_i\leftrightarrow c_j$。

根据以上性质 1，有推论及证明如下：

推论1　如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

证明　设行列式 $D=det(a_{ij})$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 行完全相同。对换行列式中 $D$ 中的第 $i$ 行和第 $j$ 行得到行列式 $D_1$；因为第 $i$ 行和第 $j$ 行完全相同，所以行列式没有改变，显然有 $D_1=D$；同时，根据性质 1，有 $D_1=-D$。于是 $D=D_1=-D$，故 $D=0$。

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式

如果将行列式中的某一列中所有元素都乘同一个数 $k$，那么相当于将行列式的每一项都乘了数 $k$，即相当于用数 $k$ 乘此行列式。于是有性质及证明如下：

性质3　行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一个数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。

证明　设行列式

$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$

是由行列式 $D=\det (a_{ij})$ 将第 $i$ 列中所有的元素都乘数 $k$ 得到的。对整数 $p\in [1,n]$，当 $l\ne i$ 时，$b_{pl}=a_{pl}$；当 $l=i$ 时，$b_{pl}=k\times a_{pl}$，于是
$$D_1=\sum (-1{)}^{t_0}{b}_{1p_1}\cdots b_{i{p}_i}\cdots b_{n{p}_n}=\sum (-1{)}^{t_0}k\cdot a_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{n{p}_n}=k\sum (-1{)}^{t_0}\cdot a_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{n{p}_n}=k\cdot D$$
因为行列式与它的转置行列式相等（性质 1），所以将行列式 $D$ 的第 $i$ 列中所有的元素都乘数 $k$，等价于将其转置行列式的第 $i$ 行中所有的元素都乘数 $k$，显然乘数 $k$ 后得到的行列式 $D_1$ 满足 $D_1=k\cdot D$。

第 $i$ 行（或列）乘 $k$，记作 $r_i\times k$（或 $c_i\times k$）。

根据以上性质 3，有推论及证明如下：

推论2　行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

证明　首先证明行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。不妨设行列式
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
中的第 $i$ 行的所有元素具有公因子 $k$，则根据性质 1，令第 $i$ 行中所有元素都乘以 $\frac{1}{k}$ 得到行列式 $D_1$，则 $D_1=\frac{1}{k}\cdot D$，于是 $D=k{D}_1$。

根据性质 1，同理可证行列式中某一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

第 $i$ 行（或列）提出公因子 $k$，记作 $r_i÷k$（或 $c÷k$），有
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\stackrel{r_i÷k}{=}k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

性质4　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

证明　首先证明行列式中如果有两列元素成比例，则此行列式等于零。设行列式
$$D=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
其中第 $i$ 列和第 $j$ 列元素成比例，即对整数 $p\in [1,n]$，有 $a_{pi}=k{a}_{pj}$。根据性质 3，将行列式的第 $j$ 列中所有的元素都乘 $k$，于是有
$$kD=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1i}& \cdots & k{a}_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2i}& \cdots & k{a}_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{ni}& \cdots & k{a}_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1i}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2i}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{ni}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
此时第 $i$ 列与第 $j$ 列完全相同，根据推论 1，行列式 $kD=0$，于是 $D=0$。

根据性质 1，同理可证行列式中如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。

性质5：若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式关于该行（列）可分解为两个行列式

性质5　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 $i$ 行的元素都是两数之和：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
则 $D$ 等于下列两个行列式之和
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

证明　首先证明若行列式的某一行的元素都是两数之和。不妨设行列式 $D$ 中第 $i$ 列的元素都是两数之和：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
根据乘法结合律，有
$$\begin{array}{rl}{D}_1& =\sum _{i=1}^n(-1{)}^t{a}_{1p_1}\cdots (a_{i{p}_i}+a_{i{p}_i}^{\prime })\cdots a_{n{p}_n}\\ & =\sum _{i=1}^n(-1{)}^t{a}_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{n{p}_n}+\sum _{i=1}^n(-1{)}^t{a}_{1p_1}\cdots a_{i{p}_i}^{\prime }\cdots a_{n{p}_n}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中式 (1) 中的第一项和第二项分别可以写成行列式 $D_1$ 和 $D_2$：
$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
根据性质 1，同理可证行列式中某一列的元素都是两数之和的情形。

这个性质表明，当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（或列） 可分解为两个行列式。若 $n$ 阶行列式每个元素都表示成两数之和，则可分解成 $2^n$ 个行列式。

性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

性质6　把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

证明　首先证明将某一行的各元素乘同一个数然后加到另一行对应的元素的情况。设有行列式 $D_0=del(a_{ij})$ ，将行列式 $D_0$ 第 $i$ 行的个元素乘 $k$ 后加到第 $j$ 行对应元素上去（$i\ne j$），得到行列式 $D_1$。根据性质 5，可将行列式 $D_1$ 分解为两个行列式
$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}+k{a}_{i1}& a_{j2}+k{a}_{i2}& \cdots & a_{jn}+k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1)}$$

式 (1) 中等式右侧第 1 项即行列式 $D_0$；根据推论 2，因为等式右侧第 2 项的行列式第 $i$ 行和第 $j$ 行元素成比例，所以该行列式为 $0$。于是 $D_1=D_0$。

根据性质 1 ，同理可证将某一列的各元素乘同一个数然后加到一列对应的元素的情况。

例如以数 $k$ 乘第 $i$ 行加到第 $j$ 行上（记作 $r_j+k{r}_i$），有
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\stackrel{r_j+k{r}_i}{=}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}+k{a}_{i1}& a_{j2}+k{a}_{i2}& \cdots & a_{jn}+k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|(i\ne j)$$