【高等数学基础进阶】多元函数的极值与最值

无约束极值

定义：若在点$(x_0,y_0)$的某邻域内恒成立不等式
$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)(f(x,y)\ge f(x_0,y_0))$$
则称$f$在点$(x_0,y_0)$取得极大值（极小值），点$(x_0,y_0)$称为$f$的极大值点（极小值点），极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点

定理（极值的必要条件）：设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在偏导数，且$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的极值点，则
$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$

也可表述为
$f(x,y_0)$在$x=x_0$处的导数等于$0$，$f(x_0,y)$在$y=y_0$处的导数等于$0$

极值点只可能在驻点和$f_x,f_y$至少有一个不存在的点

定理（极值的充分条件）：设$z=f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$，记$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$，则

• 当$AC-B^2>0$时，有极值，若$A>0$为极小值，若$A<0$为极大值
• 当$AC-B^2<0$时，无极值
• 当$AC-B^2=0$时，不一定（一般用定义判定）

条件极值与拉格朗日乘数法

函数$f(x,y)$在条件$\varphi (x,y)=0$条件下的极值
令$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$
{ F x = f ( x , y ) + λ ϕ x ( x , y ) = 0 F y = f y ( x , y ) + λ ϕ y ( x , y ) = 0 F λ = ϕ ( x , y ) = 0 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​​Fx​=f(x,y)+λϕx​(x,y)=0Fy​=fy​(x,y)+λϕy​(x,y)=0Fλ​=ϕ(x,y)=0​

函数$f(x,y,z)$在条件$\varphi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$条件下的条件极值
令$F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda \varphi (x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$

设给定目标函数$f(x,y)$，约束条件为$\varphi (x,y)=0$

如图所示，曲线$L$为约束条件$\varphi (x,y)=0$，$f(x,y)=C$为目标函数的等值线族
在$f(x,y),\varphi (x,y)$偏导数都连续的条件下，目标函数$f(x,y)$在约束条件$\varphi (x,y)=0$下的可能极值点$M(x_0,y_0)$，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点
因为两曲线在切点处必有公切线，所以目标函数等值线在点$M(x_0,y_0)$处法向量 { f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) } \{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\} {fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​)}与约束条件曲线在点$M(x_0,y_0)$处法向量 { ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) , ϕ y ′ ( x 0 , y 0 ) } \{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\} {ϕx′​(x0​,y0​),ϕy′​(x0​,y0​)}平行，即
f x ′ ( x 0 , y 0 ) ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ϕ y ′ ( x 0 , y 0 )

fx′(x0,y0)ϕx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)ϕy′(x0,y0)" role="presentation">f′x(x0,y0)ϕ′x(x0,y0)=f′y(x0,y0)ϕ′y(x0,y0)$$\begin{array}{r}\frac{f_x^{\prime }(x_0,y_0)}{{\varphi }_x^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{f_y^{\prime }(x_0,y_0)}{{\varphi }_y^{\prime }(x_0,y_0)}\end{array}$$

ϕx′​(x0​,y0​)fx′​(x0​,y0​)​=ϕy′​(x0​,y0​)fy′​(x0​,y0​)​​
也就是说存在实数$\lambda$，使下式成立
{ f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) } + λ { ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) , ϕ y ′ ( x 0 , y 0 ) } = 0 \{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}+\lambda\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}=0 {fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​)}+λ{ϕx′​(x0​,y0​),ϕy′​(x0​,y0​)}=0
需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数$f(x,y)$在约束条件$\varphi (x,y)=0$下的极值点（如图中的$M_2$点）

链接：拉格朗日乘数法_百度百科 (baidu.com)

最大最小值

求连续函数$f(x,y)$在有界闭域$D$上的最大最小值

1. 求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
2. 求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
3. 比较

应用题

1. 建立函数关系
2. 求$f(x,y)$在$D$内部可能的极值点（无约束极值）
3. 求$f(x,y)$在$D$的边界的最大最小值（条件极值）
4. 比较

常考题型方法与技巧

求极值（无条件）

例1：设函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，证明点$(0,0)$是$f(x,y)$的极小值点

可以用极值的充分条件，这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数

函数$z=f(x,y)$的全微分为$dz=xdx+ydy$，可知
$$z_x=x,z_y=y$$
由$z_x=x$，偏积分得
$$z={\int }_{}^{}xdx=\frac{1}{2}{x}^2+\varphi (y)$$
再代入$z_y=y$，确定$\varphi (y)$
z y = ϕ ′ ( y ) ⇒ ϕ ′ ( y ) = y ∫ ϕ ′ ( y ) d y = ∫ y d y ϕ ( y ) = 1 2 y 2 + C z = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 + C

zy​⇒ϕ′(y)∫​ϕ′(y)dyϕ(y)z​=ϕ′(y)=y=∫​ydy=21​y2+C=21​x2+21​y2+C​
根据定义后面不再展示过程

还可以通过凑微分得到原函数

d z = x d x + y d y d z = d ( 1 2 x 2 ) + d ( 1 2 y 2 ) d z = d ( 1 2 x 2 + 1 2 y 2 ) z = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 + C

dzdzdzz​=xdx+ydy=d(21​x2)+d(21​y2)=d(21​x2+21​y2)=21​x2+21​y2+C​
根据定义后面不再展示过程

求最大最小值

例2：求函数$u=x^2+y^2+z^2$在约束条件下$z=x^2+y^2$和$x+y+z=4$下的最大值和最小值

设
$$F(x,y,z,\lambda ,\mu )=x^2+y^2+z^2+\lambda (x^2+y^2-z)+\mu (x+y+z-4)$$
有
{ F x = 2 x + 2 λ x + μ = 0 F y = 2 y + 2 λ y + μ = 0 F z = 2 z − λ + μ = 0 F λ = x 2 + y 2 − z = 0 F μ = x + y + z − 4 = 0 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​​Fx​=2x+2λx+μ=0Fy​=2y+2λy+μ=0Fz​=2z−λ+μ=0Fλ​=x2+y2−z=0Fμ​=x+y+z−4=0​
解得$(x_1,y_1,z_1)=(1,1,2),(x_2,y_2,z_2)=(-2,-2,8)$
故所求的最大值为$72$，最小值为$6$

例3：已知$z=f(x,y)$的全微分$dz=2xdx-2ydy$且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 4 ≤ 1 }

D={(x,y)∣ ∣​​x2+4y2​≤1}​上的最大最小值

先找$f(x,y)$，这里用凑微分（偏积分也行）
d z = 2 x d x − 2 y d y d z = d x 2 − d y 2 d z = d ( x 2 − y 2 ) z = x 2 − y 2 + C 代入 f ( 1 , 1 ) = 2 2 = 1 − 1 + C ⇒ C = 2 z = x 2 − y 2 + 2

dzdzdzz2z​=2xdx−2ydy=dx2−dy2=d(x2−y2)=x2−y2+C代入f(1,1)=2=1−1+C⇒C=2=x2−y2+2​
令 ∂ f ∂ x = 2 x = 0 , ∂ f ∂ y = − 2 y = 0

∂f∂x=2x=0,∂f∂y=−2y=0" role="presentation" style="position: relative;">∂f∂x=2x=0,∂f∂y=−2y=0$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}=2x=0,\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=-2y=0\end{array}$$

∂x∂f​=2x=0,∂y∂f​=−2y=0​，得驻点为$(0,0)$

接下来可以用拉格朗日乘数法，运算不难，这里不展示步骤。考虑另一个思路，由于已经知道了约束条件，该约束条件可以代入$z=f(x,y)$，化条件为无条件

由于点在$x^2+\frac{y^2}{4}=1$上，有
z = x 2 − ( 4 − 4 x 2 ) + 2 x ∈ [ − 1 , 1 ] z = 5 x 2 − 2 z max ⁡ = z ∣ x = ± 1 = 3 z min ⁡ = z ∣ x = 0 = − 2

zzzmax​zmin​​=x2−(4−4x2)+2x∈[−1,1]=5x2−2=z∣ ∣​x=±1​=3=z∣ ∣​x=0​=−2​
因此最大值为$3$，最小值为$-2$

对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件

椭圆 x 2 + y 2 4 = 1

x2+4y2​=1​的参数方程为
{ x = cos ⁡ t y = 2 sin ⁡ t \left\{

x=cos⁡ty=2sin⁡t" role="presentation" style="position: relative;">x=costy=2sint$$\begin{array}{rl}& x=\cos t\\ & y=2\sin t\end{array}$$

\right. {​x=costy=2sint​
则
z = f ( x , y ) = x 2 − y 2 + 2 = cos ⁡ 2 t − 4 sin ⁡ 2 t + 2 = 3 − 5 sin ⁡ 2 t t ∈ [ 0 , 2 π ]

z=f(x,y)=x2−y2+2=cos2⁡t−4sin2⁡t+2=3−5sin2⁡tt∈[0,2π]" role="presentation" style="position: relative;">z=f(x,y)=x2−y2+2=cos2t−4sin2t+2=3−5sin2tt∈[0,2π]$$\begin{array}{rl}z=f(x,y)& =x^2-y^2+2\\ & ={\cos }^{2}t-4{\sin }^{2}t+2\\ & =3-5{\sin }^{2}tt\in [0,2\pi ]\end{array}$$

z=f(x,y)​=x2−y2+2=cos2t−4sin2t+2=3−5sin2tt∈[0,2π]​